Som tidligere nævnt er udgangspunktet for vores progression, at alle matematikopgaver kan besvares og efterfølgende evaluers efter samme model, som er opbygget af fem trin og derfor omtales som 5 punktsmodellen. I dette afsnit vil der dog blive fokuseret på hvordan modellen skal bruges til at svare på skriftlige opgaver som efterfølgende evalueres ved peerfeedbck. For et eksempel på hvordan modellen kan bruges til at lukke en opgave op henvises hertil.

Nedenfor beskrives det således hvordan tre forskellige ideelle opgavebesvarelser kan se ud punkt for punkt, samtidigt med at de didaktiske overvejelser bag gennemgås. De fem punkter er Spørgsmålet, Oplysninger, Metoden, Løsningen og Konklusionen. Vi har valgt ikke at vise selve opgaverne, da vi gerne vil lærer eleverne at en opgavebesvarelse skal være så fyldestgørende at man kan se opgaveformuleringen for se ved at læse opgavebesvarelsen. Vi er derfor spændt på om du kan se opgaveformuleringerne for dig når du har læst nedenstående.

1. Spørgsmålet. Kort gengivelse af spørgsmålet med matematiske fagbegreber.

Formålet med dette punkt er at eleverne skal opdage, at mange matematikopgaver i princippet er ens, men blot "klædt" forskelligt ud. For at at fremme denne erkendelse skal eleverne opfordres til at skrive punktet i generelle vendinger med brug af fagtermer, hvilket overfor eleverne kan italesættes ved, at punktet skal skrives så det kan copy pastes til en anden helt tilsvarende opgaver. At skrive i generelle vendinger vil samtidigt være nemmere når der bruges fagtermer, som jo netop er generelle og ikke specifikke for den enkelte opgave. Typiske besvarelser kan se således ud:

• Jeg skal bestemme hældningen og skæringen for en lineær funktion

• Jeg skal bestemme førstekoordinaten til skæringspunktet mellem grafen for et tredjegradspolynomium og en ret linje.

• For en binomialfordelt stokastisk variabel skal jeg bestemme , middelværdien og spredningen

Det er vores oplevelse, at eleverne ofte har svært ved at skrive dette punkt selv om de har løst opgaven, hvilket vi ser som et tegn på at eleverne har svært ved at fortælle, hvad det er de rent faktisk har gjort. Dette håber vi at udbedre gennem dette punkt.

2. Oplysninger. Præcisering af hvilke data/oplysninger der er til rådighed i opgaven

Formålet med dette punkt er at eleverne skal kunne trække de væsentligste opgaver ud af en opgave og præsenterer dem med korrekt brug af fagtermer og matematisk notation.

For den første opgave hvor eleverne under punkt 1 har skrevet "Jeg skal finde hældningen og skæringen for en lineær funktion" vil det være relevant at skrive således i punkt 2:

• Jeg har de i tabellen viste målepunkter, som viser indholdet af kviksølv i fisk som funktion af tiden.

Ved at bruge fagtermen målepunkter signalere eleven således at være bevist om at den rette linje skal gå gennem en mængde af målepunkter. Ved at bruge vendingen "som funktion af tiden" viser eleven , at han/hun er bevist om at tiden er den uafhængige variabel og indholdet af kviksølv den afhængige.

Tilsvarende for opgave 2 hvor eleven under punkt 1 har skrevet "Jeg skal bestemme førstekoordinaten til skæringspunktet mellem grafen for et tredjegradspolynomium og en ret linje" vil det være relevant at skrive således:

• Jeg har den i opgaven opgivne funktionsforskriften f(x) for et tredjegradspolynomium og ligningen for den rette linje.

Dette viser at eleven kender begreberne funktionsforskriften, tredjegradspolynomium og ligningen og kan bruge dem i sit eget sprog.

Endeligt hvis eleven har lavet den tredje opgave og under punkt 1 skrev "For en binomialfordelt stokastisk variabel skal jeg bestemme , middelværdien og spredningen" vil et god besvarelse af punkt 2 se således ud:

• Fra opgaven har jeg at X~B(10;0,5).

Herved signalere eleven at have forstået den matematisk notation for en binomialfordeling. Alternativ vil det dog også være fint hvis elven skriver:'

• Jeg har at n=10 og p=0,5

og hermed signalere at han hun har forstået at antalsparameteren n=10 og sandsynlighedsparameteren p=0,

3. Metoden. Forklaring på, hvordan du vil løse opgaven.

Det er afgørende for os at eleven i dette punkt motiveres til at bruge formelsamlingen og til at være bevidste om hvad det er de får deres CAS værktøj til at gøre. For den første opgave hvor eleven under punkt 2 skrev "Jeg har de i tabellen viste målepunkter, som viser indholdet af kviksølv i fisk som funktion af tiden" kan en besvarelse se således ud:

• Jeg indtaster målepunkterne og foretager ved hjælp af Wordmat en lineær regression og får herved forskrifften for en lineær funktion.

Som det ses er punktet igen skrevet i meget generelle vendinger og vil derfor umiddelbart kunne flyttes til en anden tilsvarende opgave. Hermed bidrager punktet til at eleverne opdager, at rigtigt mange matematikopgaver er ens blot "klædt" forsselligt ud. Samtidigt viser brugen af fagtermen lineær regression at eleven er bevidst om hvad det er Cas værktøjet gør.

For den anden opgave hvor eleven under punkt 2 skrev " jeg har den i opgaven opgivne funktionsforskriften f(x) for et tredjegradspynomiet og ligningen for den rette linje" kan en besvarelse af punkt 3 se således ud:

• I Wordmat definerer jeg funktion f(x) og indtaster ligningen for den rette linje som en funktion h(x). Herefter løser jeg ved hjælp af Wordmat ligningen f(x)=h(x) og får herved førstekoordinaten til skæringspunktet.

Igen viser eleven at han/hun er bevidst om hvad det er Cas værktøjet skal gøre samtidigt med at opgaven er skrevet i generelle vendinger og umiddelbart vil kunne overføres til en anden tilsvarende opgave. Når denne overførsel er mulig mener vi, bl.a. på baggrund af undervisningsevalueringer, at transferen af metoder fra en opgave til en aden fremmes.

I den tredje opgave hvor eleven under punkt 2 skrev "fra opgaven har jeg at X~B(10;0,5)" eller"jeg har at n=10 og p=0,5" vil en besvarelse af punkt 3 se således ud:

• Jeg indtaster n og p i formel 189 og 190 og får herved middelværdien og spredningen.

Henvisningen til formler er en opfordring til eleverne om at vendes sig til at bruge formelsamlingen. Igen bemærkes den generelle skrivemåde og dermed muligheden for transfer af viden.

• Løsningen. Selve løsningen af opgaven. For opgaver, som løses uden brug af CAS værktøj er det her vigtigt med mellemregninger. Hvis du bruger et CAS værktøj er det vigtigt med et skærmbillede med forklaringer til dit IT værktøj.

For den første opgave hvor eleven i punkt 4 skrev "Jeg indtaster målepunkterne og foretager ved hjælp af Wordmat en lineær regression og får herved forskrifften for en lineær funktion" vil punkt 4 se således ud:

Som det ses er der overenstemmelse mellem at CAS værktøjet angiver at der er foretaget en lineær regression, som eleven skrev under punkt 3.

For den anden opgave hvor eleven under punkt 3 skrev "I Wordmat definerer jeg funktion f(x) ogindtaster ligningen for den rette linje som en funktion h(x). Herefter løser jeg ved hjælp af Wordmat ligningen f(x)=h(x) og får herved førstekoodianten til skæringspunktet" vil besvarelsen se således ud.:

Som det ses er der igen overenstemmelse mellem at eleven under punkt 3 skev at ligningen løses og at CAS værktøjet angiver at en ligning løses.

For opgaver , der som denne kræver at der udføres flere operationer med CAS værktøjet vil der ofte være en tendens til at eleven blander punkt 3 og 4 sammen. Det er vores opfattelse, at dette skal undgås, da mener at eleven får en didaktisk fremmende udfording først at skrive punkt 3 i generelle vendinger for herefter at udføre de angivne regneoperetioner i punkt 4. En udfordring, som minder om den i Cooperative learning beskrevne øvelse chef og sekretær hvor en elev skal forklare en ande elev hvordan en opgave løses. Det er ofte sværere end blot at løse opgaven, men hvad gør det hvis læring opnås!

I den tredje opgave hvor eleven under punkt 3 skrev "Jeg indtaster n og p i formel 189 og 190 og får herved middelværdien og spredningen". vil punkt 4 se således ud:

Denne opgave tænkes at være uden hjælpemidler og det er derfor vigtigt at der er mellemregninger med, som illusterer hvad eleven har tænkt undervejs.

5. Konklusionen. En afsluttende konklusion på opgaven, hvor svaret på spørgsmålet tydeligt fremstår.

Ved besvarelsen af opgaverne bør eleverne opfordres til at skrive opgaveteksten lidt om, så de er sikker på at de svare på det der bliver spurgt om. Samtidigt bør konklusionen henvise til punkt 4 samtidigt med at konklusionen skal være er et svar på punkt 1. For den første opgave vil konklusionen således være:

• Som det fremgår ovenfor er hældningen, a, og skæringen, b, for den lineære funktion, som angiver koncentration af kviksølv i fisk som funktion af tiden henholdvis a=20,43 og b=25,71.

For den anden opgave vil konklusionen være

• Da løsningen x=0 angiver det punkt hvor den rette linje tangerer grafen for tredjegradspolynomiet kan denne løsning ikke bruges. Det må derfor konkluderes at førstekoordianten til skæringspunktet mellem førstegradspolynomiet og den rette linje er x=2.

For den tredje opgave vil konkusionen se såldes ud:

• Som det fremgår ovenfor er middelværdien og spedningen for den binomialtfordelte stokastiske variabel X henholdsvis 10 og kvrod(2,5).

Som vi nævnte ovenfor valgte vi bevidst ikke at vise selve opgaveformueringerne, da vi gerne vil have at de fremstår efter, at en opgave er blevet besvaret efter fempunktsmodellen. Levede fempunktsmodellen op til denne målsætning?

Nedenfor har vi dog valgt at vise en animation hvor løsningen af en række opgaver efter fem punkts modellen med tilhørende didaktiske reflektioner fremgår: