Embedded Files
ZENBAKETAK EGITEKO KONBINATORIA
ZENBAKETAK EGITEKO KONBINATORIA
Orain arte ikusi ditugun adibide guztietan behin eta berriz erabili dugu konbinatoria. Konbinatoria garrantzizko arloa da eta ongi menderatzea oso erabilgarria da aldeko kasuak eta kasu posibleak kalkulatzeko. Hemen laburpen txiki bat:
IDAZKERA PROBABILITATEAN
IDAZKERA PROBABILITATEAN
Ezinbestekoa da kontzeptu bakoitzari bere izenez deitzea. Matematikan hizkuntza zehatza erabiltzeak erraz bilakatu dezake hasieran zaila dirudien zerbait.
Ausazko esperimentu bat emaitza zoriaren mende dagoen ekintza (esperimentua) da.
Ausazko esperimentu bateko emaitza posible bakoitzari kasu edo oinarrizko gertaera deitzen zaio.
Gertaera posible guztien multzoari lagin-espazioa edo gertaera ziurra deitzen zaio. Lagin-espazio osoa ᘯ sinboloaz adierazten dugu.
Gertaera bat lagin-espazioaren azpimultzo bat da.
S gertaera bat baldin bada, bere aurkako gertaera emango da ematen ez denean. Aurkako gertaerak honela adieraziko ditugu: Ŝ edo SC
Bi gertaera independenteak direla diogu batak bestearengan eraginik ez badu; bata jazotzeko probabilitateak eraginik ez badu bestea jazotzeko probabilitatean. Independenteak ez diren gertaerei dependenteak edo mendekoak deritze.
A eta B bi gertaera ekiprobableak direla diogu baldin eta haien probabilitateek balio bera badute, hau da, P(A)=P(B) bada.
Adibidea:
Adibidea:
Gertaera baten eta bere aurkakoaren arteko bildura gertaera ziurra da, beraz:
Bi gertaera independenteak direnean, bien ebaketa (hau da, bi gertaerak batera gertatzea) jazotzeko probabilitatea horietako bakoitzaren probabilitatearen arteko biderketa da.
A eta B independenteak badira, hau da:
GERTAERA DENEK EZ DUTE PROBABILITATEA BERA
GERTAERA DENEK EZ DUTE PROBABILITATEA BERA
Sarritan, gertaerek probabilitate ezberdina dutela antzeman dezakegu. Adibidez, dado bat botatzen badugu, balio bikoitia lortzeko probabilitatea ½ da, eta balioa hiruren multiploa izateko probabilitatea, ordea, 1/3 da.
Baina beste kasu batzuetan asko kostatzen zaigu hori horrela dela igartzea.
Adibidea:
Adibidea:
Erabilitako hizkuntza ez denez zehatza izan, esperimentu berbererako lagin-espazio bi eduki ditzakegu. Horrek ez du arazorik sortzen, beti ere, eskatzen zaiguna ondo zehaztuta badago.
Ebatzitako jarduerak
Ebatzitako jarduerak
Scrabble-ko 5 fitxarekin CASAS hitza sortu dugu. Poltsa batean bostak sartu eta 3 aterako dira. Eman ekiprobableak diren bi kasu eta beste bi ez direnak.
Ekiprobableak: {AAC} eta {SSC}.
Ez-ekiprobableak: {AAC} eta {CAS}.
Pokerreko karta-sorta bat ongi nahastu, moztu, goiko bi karta begiratu eta horien balioak batuko dira (demagun A=1, J=11, Q=12 eta K=13 dela). Eman ekiprobableak diren bi kasu, eta ez diren beste bi.
Lagin-espazioa {2, 3, 4, …, 26} da; hau da, bi karten balioak batzean lor daitezkeen balio posibleak.
Ekiprobableak: {2} eta {26}, edo, {3} eta {25}.
Ez-ekiprobableak: {2} eta {3}.
30 ikaslez osaturiko ikasle talde batetik bat aukeratuko da. Zein hiletan jaio den galdetuko zaio. Eman ekiprobableak diren bi kasu, eta ez diren beste bi.
Lagin-espazioa {urtarrila, otsaila, …, azaroa, abendua} da. Hil denak ez dira ekiprobableak; hil batzuetan beste batzuetan baino ume gehiago jaiotzen direlako. Espainian, 2012 urtean, hil bakoitzean jaiotako ume kopurua adierazten duen taula da behekoa. Balio horiek erabilita, hil bakoitzaren probabilitatea maiztasun erlatibora hurbildu dezakegu.
ZUHAITZ-DIAGRAMAK
ZUHAITZ-DIAGRAMAK
Aldakuntzak, konbinazioak edo permutazioak adierazteko zuhaitz-diagramak erabiltzen dira. Teknika hau oso erabilgarria da probabilitate kalkuluan ere.
Adibidea:
Adibidea:
Ebatzitako jarduera
Ebatzitako jarduera
Kontuan izan problema matematiko bat hainbat modutan ebatz daitekeela. Beti ere ebazteko gai izan behar duzu, erabilitako teknika kontuan izan gabe. Horregatik da horren garrantzitsua hainbat teknika ezagutzea eta menderatzea, problemari aurre egiteko era edo “tresna” desberdinak eskura izateko..
PROBABILITATE BALDINTZATUA
PROBABILITATE BALDINTZATUA
Zuhaitz-diagrama bat egiten dugunean, adar bakoitzaren probabilitatea aurretiko gertaera batean oinarritzen da; hau da, gertaera baten probabilitatea beste batek baldintzatzen du. Goiko adibidean, lehenengo ateraldian bola gorria atera zela jakinda, bigarren ateraldian bola gorria izateko probabilitatea 6/10 zen; baina, lehenengoan zuria atera zela jakinda, bigarren ateraldian gorria ateratzeko probabilitatea 7/11 zen.
Zenbait kasutan kalkulatu nahi dugun gertaeraren probabilitatea aurretik eman den gertaera baten mende dagoen gertaeraren probabilitatea da, hau da, probabilitate baldintzatua da kalkulatu nahi dugun hori.
B gertaera jazo dela jakinda, A gertaeraren probabilitatea P(A|B) idazten da eta honela kalkulatzen da:
P(A|B) “Aren probabilitatea, jakinda B” irakurtzen da eta probabilitate baldintzatua bezala ezagutzen dugu.
P(A|B)≠P(A) gertatzen denean, A eta B mendekoak direla esango dugu.
Adibideak:
Adibideak:
Page updated
Report abuse