Funtzio errealak

Aurkibidea:

FUNTZIOAREN KONTZEPTUA

FUNTZIO BATEN GRAFIKOA

FUNTZIO BAT ADIERAZTEKO ZENBAIT ERA

Taula bidez emandako funtzioak

Adierazpen batez emandako funtzioak

Zatika definitutako funtzioak

FUNTZIO BATEN IZATE-EREMUA EDO DEFINIZIO-EREMUA ETA IBILBIDEA

Definizio-eremuaren kalkulua

FUNTZIOAREN KONTZEPTUA

Funtzio bat bi magnituderen arteko erlazio edo korrespondentzia da; erlazio horren arabera, aldagai askea den x bakoitzari, menpeko aldagaia den y balio bakarra dagokio.

Aldagai bat, y, beste aldagai baten, x, menpe dagoela adierazteko, y=f(x) idatziko dugu, eta “y, x-ren menpeko funtzioa” edo “y berdin efe x” irakurriko da.

Funtzioak makinak bezalakoak dira; elementu bat, , sartu eta beste bat, , bueltatzen duten makinak. funtzioak, adibidez, balio bat sartzean haren karratua bueltatzen digu.

OSO GARRANTZITSUA da aldagai aske bakoitzeko menpeko aldagaiaren balio bakarra izatea. Bestela, daukagun erlazioa EZ da funtzioa izango. Bestalde, posible da menpeko aldagai batentzat aldagai aske bat baino gehiago egokitzea.

Adibideak:

Telefono konpainiek kontsumitutakoaren arabera kobratzen digute. Horrela, hitz egiten eman ditugun minutuak ezagutzen baditugu, eta edozein kasutan minutu bakoitzagatik kopuru bera ordaintzen badugu, erraz jakingo dugu ordaindu beharrekoa. Denboraren arabera ordaindu beharreko dirua adierazten duen funtzioa da.
Kasinora joan eta gorriaren alde ala beltzaren alde euro bat jokatzen badugu, irabaziz gero bi jasoko ditugu; baina galduz gero, ez dugu ezer jasoko. Jokatutakoa esanez gero, ezin dugu jakin zenbat irabaziko dugun. Beraz, kasino bateko irabaziak EZ dira jokatutakoaren menpeko funtzio.

Ebatzitako jarduerak

Esan egoera hauek funtzioak adierazten dituzten ala ez:

Auto batek egindako distantzia, denboraren arabera.
Burtsako irabaziak, inbertitutakoaren arabera.
Zenbaki baten karratua.

1) eta 3) funtzioak dira. 2), ordea, ez da funtzioa ez dakigulako zenbat den irabazten duguna.

FUNTZIO BATEN GRAFIKOA

Funtzio baten joera ikusteko modurik errazena plano kartesiarrean adieraztea da. Gogora dezagun azkar-azkar zer zen plano kartesiarra (kartesiar hitza, Renè Descartes (1596-1650) matematikari frantsesaren izenetik dator).

Erreferentzia-sistema kartesiarra, ardatz deituriko bi zuzen perpendikularrez osatua dago. Bi ardatzak ebakitzen diren puntuari jatorria edo koordenatu-sistemaren jatorria deitzen zaio.

Ardatz bat bertikala da, eta bestea horizontala. Ardatz horizontalari abzisa-ardatza edo OX ardatza edo X ardatza deritzo; ardatz bertikalari, ordenatuen-ardatza edo OY ardatza edo Y ardatza deitzen zaio.

Erreferentzia-sistema kartesiarra

Ardatzek planoa lau zatitan banatzen dute. Zati horietako bakoitzari koadrantea esaten zaio:

Lehenengo koadrantea: goiko eskuineko zatia.
Bigarren koadrantea: goiko ezkerreko zatia.
Hirugarren koadrantea: beheko ezkerreko zatia.
Laugarren koadrantea: beheko eskuineko zatia.

Puntu bat adierazteko gogoratu behar dugun bakarra hau da: lehenengo balioa (abzisa), x, OX ardatzean (abzisa-ardatzean) kokatzen da; bigarren balioa (ordenatua), y, OY ardatzean (ordenatuen-ardatzean) kokatzen da. Bi balio horiek puntuaren koordenatuak dira, eta honela idazten dira: (x,y).

Koordenatuentzako noranzko positiboa eskuinerantz edo gorantz da. Balioetako bat negatiboa bada, kontrako noranzkoan kokatuko dugu.

Grafiko bat adierazteko (x,y) bikoteak, edo (x,f(x)) bikoteak y=f(x) delako, plano kartesiarrean kokatu besterik ez dugu egin behar. Jarraian, segementuz elkartuko ditugu puntu horiek eta lerro kurbatu bat lortuko dugu, gutxi gorabehera egiten badugu. Kurba horri, funtzioaren grafikoa deitzen zaio. Baina bi dira sortzen zaizkigun galderak:

Zenbat balio eman behar dira lortutako grafikoa egokia izateko?
Zer balio emango ditugu?

Ez dago erantzun finkorik galdera horietarako. Zenbat eta balio gehiago eman, orduan eta grafiko finagoa lortuko dugu; hala ere, kalkulu asko egin beharko ditugu puntu horiek guztiak lortzeko. Ordenagailua erabilita (gaur egun, GeoGebra da horretarako gehien erabiltzen den programa) oso azkar egin daitezke kalkuluak, eta, beraz, lortzen dugun grafikoa balio askoz osatutako grafikoa izango da (500, 1.000… adibidez).

Adibidea:

y=x² funtzioa [-2,2] tartean adieraziko dugu ordenagailua erabilita (beheko marrazkia Octave programarekin adierazita dago).

Bi dira egingo ditugun grafikoak: lehenengoak 5 balio besterik ez dituena eta bigarrenak 500. Argi ikusten da bi grafikoen arteko desberdintasuna. Lehenengo grafikoan hobeto ikus daiteke ordenagailuak nola lotzen dituen puntuak, segmentuak erabiliz.

Ebatzitako jarduera

Adierazi funtzio hau:

Gaian aurrera egiten dugun heinean, ikasiko dugu zein diren hartu beharreko balioak; orain, ordea, balio gutxi batzuk kalkulatu eta gero lerro zuzenen bidez elkartuko ditugu. Har ditzagun, adibidez, -4, -1, 0, 1 eta 4 balioak x-rentzat. Gogoratu parentesiak EZINBESTEKOAK direla funtzioan balioak ordezkatzerakoan; hobe da BETI erabiltzea, horrela arazo asko ekidingo ditugu. -4 baliorako, adibidez,

balioa lortzen dugu; 4 baliorako, berriz,

balioa. Biek dute balio bera, baina lehenengo kasuan parentesiek garrantzia handia dute; erabili ez bagenitu emaitza oso ezberdina lortuko genukeen:

Gorago esan bezala, lortutako grafikoa funtzio bat den ala ez jakiteko marrazkia begiratzea besterik ez dugu. x balioren batek y balio bat baino gehiago baldin badu, orduan lortutako grafikoa EZ da funtzioa. Aurreko adibidea funtzioa dela argi asko ikusten da.

Ebatzitako jarduera

Esan adierazpen grafiko hauetako zein den funtzioa eta zergatik:

a) grafikoa funtzioa da. b) grafikoa, ordea, EZ da funtzioa, baliorako -ren bi balio daudelako.

FUNTZIO BAT ADIERAZTEKO ZENBAIT ERA

Esan dugun bezala, funtzio batek bi magnitude nola erlazionatzen diren deskribatzen du. Deskribapen hori era askotara egin dezakegu.

Taula bidez emandako funtzioak

Funtzio bat emateko modurik errazena balio-taula bidez da. Esperimentu bat egitean behaketak egin eta lortutako balioak neurtzen ditugu. Lortutako informazio horrekin guztiarekin balioen arteko erlazioa (funtzioa) lor dezakegu eta, gainera, taula baten jarri eta puntu horiek lotzean grafikoa marraztu.

Adibidea:

Pilota bat 10 m-ko altueratik askatu dugu eta ibilitako espazioa neurtu dugu segundotan. Taula hau lortu dugu:

Grafikoa egitea oso erraza da. Lortutako puntuak plano kartesiarrean kokatu eta horiek lotu egingo ditugu (eskuineko grafikoa GeoGebrarekin egin dugu).

Puntuen arteko hutsuneak betetzeak logikoa dirudi. Pilota ezin da puntu batetik beste batera teleportatu; beraz, neurtu ez dugun arren, posible da jakitea non dagoen 0,7 segundoan. Une horretan haren posizioa 1,13 m (0,5 segundori dagokion posizioa) eta 3,14 m (0,8 segundori dagokion posizioa) artean egongo da.

Baina beti al da horrela? Hau da, posible al da existitzea funtzioren bat non ez duen zentzurik tarteko balioak jartzea? Erantzuna positiboa da. Hona hemen adibide bat :

Adibidea:

Liburutegi batean fotokopiak egiten dituzte. Prezio-taula hau jarri dute, kopia kopuruaren araberakoa:

Puntuak planoan kokatuz adierazpen grafikoa egin daiteke. Baina koka al daitezke tarteko punturik?

Ezinezkoa da 1,5 fotokopia egitea. Fotokopia kopurua zenbaki arrunta izan behar da.

Kasu honetan, aztertzen gabiltzan aldagaia diskretua dela esaten da eta ikusi dugun bezala ez du zentzurik tarteko baliorik planteatzea.

Adierazpen batez emandako funtzioak

Zenbait kasutan bi magnituderen arteko erlazioaren inguruan informazio asko daukagu eta, ondorioz, haien adierazpen aljebraikoa (funtzioa) ezagutu dezakegu. Konproba dezagun adibide baten bidez:

Adibidea:

Buelta gaitezen aurreko atalean aztertu genuen pilotaren adibidera.

Erorketa askeko gorputz bat da pilota, beraz, ez du merezi denbora eta espazioa neurtzea. Fisika ikasgaian, s=1/2 at² formula bidez adierazten den higidura zuzen eta uniformeki azeleratua (HZUA) ikasi duzue; non, espazioa den, denbora eta a azelerazioa. azelerazioa, erorketa askea denez, grabitazio bezala ezagutzen dugu eta 9,8 m/s² balio du.

Beraz, espazioa eta denbora magnitudeak ekuazio honen bidez erlazionatuta daude: s=1/2 9,8t². Matematikan ohikoagoa da x eta y jartzea s eta t baino; beraz, gure ekuazioa y=1/2 ax² izango da.

Ordenagailua erabilita grafikoa marraztu dezakegu eta lortzen den emaitza aurreko adibideko bera dela ikusiko dugu.

Zatika definitutako funtzioak

Adibidea:

Telefono-enpresa bateko tarifen inguruko informazio hau daukagu: hilean 10 € finko ordaintzen dira, eta horren trukean lehen 500 minutuak doakoak dira; minutu kopuru hori gainditu eta gero kontsumitzen den minutu bakoitzak 5 zentimo balio du.

Berehala ikusten dugu 500. minutua baino lehen eta hura gainditu ostean gertatzen dena ezberdina dela.

Zatika definitutako funtzio edo zatikako-funtzio bat tarte ezberdinetarako era ezberdinean adierazita dagoen funtzioa da.

Funtzio bidez adierazten badugu telefono-enpresaren faktura, non minutuak diren, hau lortuko dugu:

500 minutu baino gutxiago kontsumitzen badugu faktura beti izango da 10 €-koa. 500 minutu baino gehiago kontsumitu badugu, benetan 500 minututik gora minutu kontsumitu dugu, eta enpresak esan digu 0,05 zentimo balio duela minutu horietako bakoitzak, beraz: . Bestalde, finkoak diren 10 € ere ordaindu behar ditugu.

Ondorioz: 10+0,05(x-500).

FUNTZIO BATEN IZATE-EREMUA EDO DEFINIZIO-EREMUA ETA IBILBIDEA

Orain arte ez diegu jaramonik egin eta aldagaiek har zezaketen balioei. Baina litekeena da kasuren baten zuzen errealeko balio denak hartzea posible ez izatea. Adibidez, altuera eta pisua erlazionatzen dituen funtzio bat baldin badugu, ezinezkoa da zein altuerak zein pisuak balio negatiboak hartzea.

f(x) funtzio baten definizio-eremua edo izate-eremua, aldagai independenteak (x) har ditzakeen balio posibleen multzoa da; hau da, funtzio horretan ordezka daitezkeen balio posibleen multzoa da. Dom f edo Dom(f) idazten da (gazteleraz dominio esaten delako).

f(x) funtzio batek bere definizio-eremuan har ditzakeen balio guztien multzoari irudia edo barrutia edo irudi multzoa edo helburu multzoa deitzen zaio; hau da, menpeko aldagaiak (y) har ditzakeen balio posibleen multzoa da. Rg f edo Rg(f) idazten da (gazteleraz rango esaten delako).

Funtzioaren grafikoa adierazita baldin badaukagu modu oso intuitiboan kalkula ditzakegu bai definizio-eremua baita irudia ere. Definizio-eremua kalkulatzeko grafikoa bertikalki estutzen dugu eta OX ardatzean margotuta geratzen dena izango da definizio-eremua. Era berean, irudia kalkulatzeko, horizontalean estutuko dugu eta OY ardatzean margotuta geratu dena izango da funtzioaren irudia.

x aldagaiaren balioetako bat definizio-eremukoa ez izateko bi kasu daude:

Funtzioak ez du zentzurik balio horietarako. Adibidez: egun batean zehar orduro gastatutako elektrizitatea erlazionatzen duen funtzioa baldin badugu, aztertzen gabiltzan aldagai (x) orduak baldin badira, 0 eta 24 artean egon behar du, ezinezkoa baita egun batek 24 ordu baino gehiago izatea.
f(x) funtzioak duen eragitekaren bat egin ezin denean. Adibidez: funtzioan ezin da 0z zatitu, beraz da.

Lehenengo kasua logika erabiliz ebatzi dugu. Bigarrenean, ordea, zailagoa da definizio-eremua kalkulatzea. Horregatik, hurrengo atalean lan pixka bat egingo dugu horrelako kasuak nola ebatzi ikasteko.

Definizio-eremuaren kalkulua

Bi dira egin EZIN diren eragiketak:

0z zatitzea.
Errotzaile bikoitiko eta errokizun negatiboko erroak kalkulatzea. Ez ahaztu, 0ren erro guztiak 0 direla eta, ondorioz, posible dela kasu berezi hori kalkulatzea.

Badaude beste eragiketa batzuk (logaritmoa, funtzio trigonometrikoak…) baina kapitulu honetan bi kasu horietan bakarrik zentratuko gara.

Definizio-eremua kalkulatzeko prozedura

Arazoak eman ditzaketen eragiketa DENAK kuadro batean sartu.
Planteatu berdin 0 den ekuazio bat eragiketa horietarako DENETARAKO. Ebatzi ekuazio horiek.
Adierazi zuzen errealean ekuazio bakoitzaren soluzio denak.
Eman balioak funtzioari kalkulagailua erabilita. Tarte bakoitzeko balio bat (tarteko balio bakarra hartzearekin nahikoa da, tarte osoko balioetarako propietate bera esleitzen zaielako) eta muturreko balioak (ekuazioen soluzioak). Eragiketa egitea posible bada, orduan, puntua edo tartea definizio-eremuaren parte da. Eragiketa ezin bada egin, orduan, puntua edo tartea ez da definizio-eremuko parte. Pauso bakoitzean joan apuntatzen BAI ala EZ gero informazioa argiago edukitzeko.
Eman emaitza tarteak erabiliz . Gogoratu, muturreko balioa tartean baldin badago kortxetea jarriko dugula, eta balioa tartean ez baldin badago, parentesia.

Algoritmo horrek konplikatua dirudi, baina ez dela horren zaila ikusiko dugu. Horretarako, zenbait adibide aztertuko ditugu:

Ebatzitako jarduerak

Kalkulatu funtzio hauen definizio-eremuak:

Page updated

Report abuse