Edozein angeluren arrazoi trigonometrikoak

ZIRKUNFERENTZIA GONIOMERIKOA. KOADRANTEAK

EDOZEIN ANGELUREN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK

Ardatz-koordenatuek determinatutako angeluak

ZIRKUNFERENTZIA GONIOMERIKOA. KOADRANTEAK

Koordenatu-jatorrian zentraturiko eta 1 erradioko zirkunferentziari zirkunferentzia trigonometrikoa edo zirkunferentzia goniometrikoa deituko diogu.

Zirkunferentzia goniometrikoan edozein angelu adieraz daiteke. Horretarako, bi alde definitu behar ditugu: lehena, OX ardatzaren (abszisa-ardatzaren) parte positiboak definitzen duen zuzenerdia, finkoa izango da; bigarrena, ordea, angeluak duen balioaren arabera sortutako zuzenerdi aldakorra izango da. Angelu baten noranzkoa, OX zuzenerdi positibotik zuzenerdi aldakorrerakoa izango da. Horrela, angelu positibo bat, erlojuaren kontrako noranzkoan ibilitakoa da; eta negatiboa, ordea, erlojuaren aldekoan ibilitakoa.

Zirkunferentzia goniometrikoak planoa koadrante deitzen diren lau eremutan banatzen du:

EDOZEIN ANGELUREN ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK

Zirkunferentzia goniometrikoan edozein angelu definitzeko ezinbestekoa da angelua definitzen duen zuzenerdi aldakorra. Zuzenerdi horrek, zirkunferentzia P_α(x_α,y_α) puntuan ebakitzen du, eta informazio horretatik hau lortzen dugu:

Angelu zorrotzen definizioa geometrikoa ez da aldatzen; azken finean, lehenengo koadranteko angeluak dira Bestalde, edozein zeinu eta anplitudeko angelura heda daiteke definizio hori.

Zirkunferentzia goniometrikoan kosinua eta sinua geometrikoki adierazita aurki ditzakegu. Azken finean, x_α eta y_α, P_α puntuaren abszisa eta ordenatua direlako; eta, beraz, luzera horretako segmentuak dira bai kosinua eta bai sinua. Bestalde, (1,0) puntutik pasatzen den zuzen ukitzailean tangentea aurki dezakegu. Tangente hori (1,0) puntuaren eta zuzen ukitzaile horrek zuzenerdi aldakorra ebakitzean sortzen den puntuaren arteko distantzia da. Era berean lan eginda (0,1) punturako, kotangentea geometrikoki adierazita aurki dezakegu

LEHENENGO KOADRANTERA LABURTUZ

Bigarren, hirugarren edo laugarren koadranteko α angelu bat, lehenengo koadranteko β angelu zorrotz batekin erlaziona daiteke. Bi angeluen arrazoi trigonometrikoak berdinak izango dira, beti ere zeinua kontuan hartzen ez badugu.

Erlazio horiek baliatuz, edozein α angeluren arrazoi trigonometrikoak kalkula ditzakegu lehenengo koadranteko β angeluaren arabera. Kasu bakoitzean, ilundutako zonaldearen zabalera kalkulatuko dugu

Kalkulagailuko arku-funtzioak erabilita (arcsin x, arccos x eta arctan x) arrazoi trigonometriko bati dagokion angelua kalkulatzean emaitza bakarra emango digun arren, infinitu dira angelu posibleak. Arazo horri erantzuna emateko alboko epigrafea oso lagungarria izango zaigu:

Kontuan izan koadrante horietako angeluek ez dutela zertan beti:

positiboak izan.
balio absolutua 360^o baino txikiagoa izan.

Angeluaren zeinuari dagokionez, ordea, hori hartutako noranzkoaren araberakoa izango da: positiboa, erlojuaren kontrako noranzkoan ibili bada; eta, negatiboa, erlojuaren aldekoan ibili bada.

Kontuan izan, balio absolutuan 360^o baino handiagoa den angelu bat baldin badugu, α eta 360^o-ren arteko zatiketa egitean lortzen dugun zatidurak bira kopurua adierazten digula, eta hondarra izango da zirkunferentzia goniometrikoan irudikatuta geratuko den angelua.

Oharra: jarraian datozen azalpenak ulergarriagoak egiteko, P puntuaren menpe neurtzen diren arrazoi trigonometrikoak α angelu orokor bati dagozkie; eta P’ puntuaren menpe daudenak, berriz, lehenengo koadranteko β angelu zorrotzari.

Bigarren kodranteko angeluak

OPA eta OA’P’ triangelu angeluzuzenak eraikiko ditugu. Forma berdina dute, eta kasu bietan zirkunferentzia goniometrikoaren erradioa eta hipotenusa bat datoz; gainera, β = angelua(AOP)=angelua(P'OA').

Bi arrazoi trigonometriko horiek zatituta, tangentea lortuko dugu:

Hirugarren kodranteko angeluak

Kasu honetan ere OPA eta OA’P’ triangelu angeluzuzen berdinak eraikiko ditugu. Horietako bakoitzaren hipotenusa zirkunferentzia goniometrikoaren erradioa izango da, eta haien katetuak, berriz, P eta P’ puntuen koordenatuek definitutako segmentuak. Gainera, β = angelua(AOP)=angelua(P'OA') beteko da.

Bi arrazoi trigonometriko horiek zatituta, tangentea lortuko dugu:

Laugarren kodranteko angeluak

Azkenik, aurreko kasu bietan eraiki ditugun bezala eraikiko ditugu OPA eta OAP’ triangelu angeluzuzen berdinak; kontuan izan, kasu honetan, dela.

Bi arrazoi trigonometriko horiek zatituta, tangentea lortuko dugu:

Ardatz-koordenatuek determinatutako angeluak

Page updated

Report abuse