Embedded Files
Planoko erreferentzia-sistema kartesiar bat elementu hauez osatua dago: O koordenatu-jatorria edo (0,0) puntua, ardatz kartesiarrak (OX abszisa-ardatza eta OY ordenatuen-ardatza) eta unitate-neurria (ondoz-ondoko bi balioren arteko distantzia).
Planoko puntu baten koordenatuak, (x,y), zenbaki errealez osatutako bikote ordenatuak dira. x koordenatuari abszisa deritzo: A puntutik OY ardatzerainoko distantzia da. y koordenatuari ordenatua deritzo: A puntutik OX ardatzerainoko distantzia da.
Planoko bi puntu izanda, D(d1,d2) eta E(e1,e2), D puntuan hasi eta E punturaino doan bektorea honela kalkulatzen da:
Oharrak:
Puntuak idazterakoan ez dugu berdin sinboloa erabiliko, baina bektoreak idazterakoan bai.
Puntu bat eta bektore bat idazteko adierazpen bera erabiltzen dugu; hau da, (a,b). Desberdintasun bakarra izenean dago; bektorea bada gezi bat izango du gainean (edo web orri honetan egingo dugun bezala beltzez azpimarratu) eta berdin ikurra erabiliko dugu definitzeko, v=(a,b). Puntua bada, ordea, letra larri etzanez izendatuko dugu, A(a,b). Ohartu bi kontzeptuak ia baliokideak direla, azken finean (a,b) bektorea, O(0,0) puntutik A(a,b) puntura doan bektorea delako.
Adibidea:
Irudian azaltzen diren puntuak hauek dira: O(0,0), A(1,2), B(3,1), D(3,2) eta E(4,4).
Bi bektore hauek bektore askearen baliokideak dira, beraz, geometria analitikoaren ikuspuntutik berdinak dira
BEKTORE BATEN ATALAK
BEKTORE BATEN ATALAK
Esan bezala, D puntuan hasi eta E punturaino doan DE geziari bektorea deitzen zaio; D puntua jatorria da eta E puntua muturra.
DE bektorea zuzenki bat besterik ez da, jatorria eta muturra dituen zuzenkia; muturrean gezi-punta bat duena. Zuzenki hori zuzen baten parte da eta zuzen horri norabide deitzen zaio. Norabide bakoitzak bata bestearekiko aurkakoak diren bi noranzko dauzka (gezi-puntaren posizioaren araberakoak).
Ebatzitako jarduerak
Ebatzitako jarduerak
BEKTOREN ARTEKO ERAGIKTAK
BEKTOREN ARTEKO ERAGIKTAK
Zenbaki batekin biderkatzea
Zenbaki batekin biderkatzea
Zenbaki erreal bat, k ∈ R, eta bektore baten, v, arteko biderkaketa kv idazten da eta v bektorea k aldiz handitu edo txikitu dugula esan nahi du. Beraz:
modulua k-ren balio absolutuaz biderkatzen da.
norabidea v-ren norabidea da.
noranzkoa, berriz, k-ren zeinuaren araberakoa da. Mantendu egingo da k positibo denean eta aldatu egingo da k negatibo denean.
Eragiketak egiterakoan bektorearen koordenatu bakoitza balioaz biderkatuko dugu.
Adibidea:
Biderkatu v=(2,-5) bektorea 2z, hau da, kalkulatu 2v: 2v=2(2,-5)=(4,-10)
Biderkatu v=(2,-5) bektorea -2z, hau da, kalkulatu -2v: -2v=-2(2,-5)=(-4,10)
Bektoreen arteko batuketa edo kenketa
Bektoreen arteko batuketa edo kenketa
Bi bektoreren batuketa edo kenketa beste bektore bat da, non bektore berri honen koordenatuak beste bi bektoreen koordenatuz-koordenatuko batura edo kendura diren.
Batuketan, eragiketaren ordenak ez du axola, emaitza bera lortzen da u+v edo v+u eginda.
Batuketaren kasuan (u+v) hau gertatzen da geometrikoki: u-ren jatorritik u-ren muturrera mugituko gara eta mutur hori v-ren jatorri izatera pasatuko da; jarraian, v mugituko gara.
Kenketaren kasuan (u-v) hau gertatzen da geometrikoki: u-ren jatorritik u-ren muturrera mugituko gara eta mutur hori v-ren jatorri izatera pasatuko da; jarraian, v mugituko gara kontrako noranzkoan (hau da, -v gehituko diogu u-ri).
Adibidea:
Bektoreen konbinazio lineala
Bektoreen konbinazio lineala
u eta v bi bektoreren arteko konbinazio lineala, au+bv idatziko duguna, bektore bakoitza zenbaki erreal batekin (a, b ∈ R) biderkatu eta horien batura egitea da. Ondorioz, bektoreen konbinazio lineala beste bektore bat da.
Adibidea:
Ebatzitako jarduerak
Ebatzitako jarduerak
BI PUNTUREN ARTEKO DISTANTZIA
BI PUNTUREN ARTEKO DISTANTZIA
Planoko A(a1,a2) eta B(b1,b2) bi punturen arteko distantzia honela definitzen da:
Ebatzitako jardurak
Ebatzitako jardurak
Oharra: bi punturen arteko distantzia kalkulatzeko, bi puntu horiek eta ardatz kartesiarren paraleloek osatzen duten triangelu angeluzuzenaren hipotenusaren luzera kalkulatu behar da, hau da, Pitagorasen teorema aplikatu behar dugu.
BEKTORE PARALELOAK eta PERPENDIKULARRAK
BEKTORE PARALELOAK eta PERPENDIKULARRAK
Bi bektore u=(u1,u2) eta v=(v1,v2) paraleloak direla diogu baildin eta baten koordenatuak bestearen proportzionalak badira. Hau da:
Adibidea:
u=(1,2) eta v=(3,6) paraleloak dira.
1/3 = 2/6 betetzen da
a=(1,2) eta b=(-3,6) ez dira paraleloak
1/-3 ≠ 2/6 betetzen da
Bi bektore u=(u1,u2) eta v=(v1,v2) perpendikularrak edo elkartzutak direla diogu baildin eta bata eta besten arteko angelua 90 gradukoa bada. Hau horrela dela konprobatzeko u1·v1+u2·v2=0 betetzen dela ikusi behar da.
Adibidea:
u=(1,2) eta v=(4,-2) perpendikularrak dira.
1·4 + 2·(-2) = 0 betetzen da
a=(1,2) eta b=(-3,6) ez dira paraleloak
1·(-3) + 2·6 = 9 ≠ 0 betetzen da
Oharra:
Bektore baten perpendikularra lortzeko, koordenatuak ordenez aldatu eta balietako bati ikurra aldatzearekin nahikoa da.
Page updated
Report abuse