Alderantzizko proportzionaltasun funtzioak: hiperbolak

HIPERBOLA

Bi magnitude alderantzizko proportzionalak dira baldin eta bietako bat zenbaki batez biderkatu edo zatitzen dugunean, bestea zenbaki horrez zatituta edo biderkatuta geratzen bada. Alderantzizko proportzionaltasun-arrazoia, k, magnitude bikoteen biderkadura da: k = a·b = a'·b'

Adibideak:

Fisikan alderantziko proportzionalak diren hainbat magnituderen adibideak aurki ditzakegu: dentsitatea eta bolumena, potentzia eta denbora, presioa eta gainazala…

Ebatzitako jarduerak

Adierazi plano kartesiarrean Boyle-Mariotte-en legea: “tenperatura konstantean, gas masa finko baten bolumena jasaten duen presioarekiko alderantzizko proportzionala da”.

Legea deskribatzen duen formula P · V = k da.

Bolumena, V, askatzen badugu, adierazpen hau lortzen dugu: V = k/P

Grafikoan ikusten den kurban presioa handitzen den heinean bolumena txikitzen da eta OX ardatzera hurbiltzen da; eta alderantziz, presioa txikitzen bada, orduan gasak hartzen duen bolumena handiagoa da.

Alderantzizko proportzionaltasun funtzioak y= k/x adierazpena du, non k alderantzizko proportzionaltasun-arrazoia den, eta eta aldagaiak bi magnitudeek dituzten balio posibleak diren.

Plano kartesiarrean daukan grafikoari hiperbola deitzen diogu.

Adibidea:

Adierazi y=1/x hiperbola.

Balio-taula bat egin eta puntuak plano kartesiarrean kokatuko ditugu:

Grafikoak ez ditu inoiz ebakitzen ardatz kartesiarrak, 0 ez delako funtzioaren definizio-eremukoa ezta irudikoa ere.

Funtzioa koordenatu-jatorriarekiko simetrikoa da eta jarraitua definizio-eremu osoan, hau da, R-{0}n.

Orokorrean, y=k/x adierazpena duten hiperbolek propietate hauek dituzte:

|k|:
- - k-ren balio absolutua handitzen bada, kurba koordenatu-jatorritik aldendu egiten da.
  - k-ren balio absolutua txikitzen bada, kurba koordenatu-jatorrira hurbiltzen da.
Definizio-eremua: 0ren ezberdinak diren zenbaki erreal denak, hau da, R-{0}.
Ibilbidea: 0ren ezberdinak diren zenbaki erreal denak, hau da, R-{0}.
Jarraitutasuna: definizio-eremu osoan jarraitua da, baina osoan ordea ez, 0 ez delako definizio-eremuko puntua; eta, beraz, balio horretan jauzi-infinitu bat du.
Simetria: funtzio bakoitia da, hau da, koordenatu-jatorriarekiko simetrikoa da.
Asintotak: x-ren eta y-ren balioak oso handiak egiten direnean, kurba koordenatu-ardatzetara hurbiltzen da, baina ez ditu inoiz ukitzen; beraz, ardatz hauek (x=0 eta y=0) kurbaren asintotak dira.

Asintotek, hiperbola bi kurbatan banatzen dute; kurba bakoitzari hiperbola-adar deitzen diegu.

Hazkundea: k-ren zeinuaren araberakoa da:
- - k>0 bada: funtzioa beherakorra da definizio-eremu osoan.
  - k<0 bada: funtzioa gorakorra da definizio-eremu osoan.

HIPERBOLA

y=k/x kurban oinarrituta posible al da beste mota bateko hiperbolak adieraztea? Parabolekin gertatzen zen bezala, a eta b parametroen balioen arabera, hasierako kurba plano kartesiarrean translada dezakegu horizontalki edo bertikalki.

Orokorrean, y=k/(x-a) + b formako hiperbola a eta b parametroen araberako y=k/x formako hiperbolaren translazioa da.

Translazio horizontalak

a aldagaiaren balioa aldatzean, hiperbolaren grafikoa horizontalki unitate transladatzen da:

a>0 bada: hiperbola eskuinera transladatzen da.
a<0 bada: hiperbola ezkerrera transladatzen da.
(x,y) puntua, (x+a,y) puntuan bilakatzen da.
Translazio-bektorea v=(a,0) da.

Translazio bertikalak

b aldagaiaren balioa aldatzean, hiperbolaren grafikoa bertikalki unitate transladatzen da:

b>0 bada: hiperbola gorantza transladatzen da.
b<0 bada: hiperbola beherantza transladatzen da.
(x,y) puntua, (x,y+b) puntua izatera pasatzen da.
Translazio-bektorea v=(0,b) da.

Translazio zeiharrak

a-ren eta b-ren balioak aldatzean, hiperbolaren grafikoa parametroen balioen arabera transladatuko da zeiharki:

Translazio norabideak a eta b parametroen zeinuen araberakoak izango dira.
(x,y) puntua, (x+a,x+b) puntua izatera pasatzen da.
Translazio-bektorea v=(a,b) da.

Page updated

Report abuse