Angelu zorrotz baten arrazoi trigonometrikoak

ANGELU ZORROTZ BATEN OINARRIZKO ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK

OINARRIZKO ERLAZIOAK

BESTE ZENBAIT ARRAZOI TRIGONOMETRIKO ETA HORIEN ARTEKO ERLAZIOAK

30o-ren, 45o-ren eta 60o-ren ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK

30o-ren eta 60o-ren arrazoi trigonometrikoak

45o-ren arrazoi trigonometrikoak

TRIANGELU ANGELUZUZENEN EBAZPENA

DISTANTZIAK KALKULATZEKO TRIANGELU ANGELUZUZENEN EBAZPENERAKO APLIKAZIOAK

Triangelu angeluzuzenen ebazpena

Behaketa bikoitzaren teknika

ANGELU ZORROTZ BATEN OINARRIZKO ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK

Izan bedi, ABC triangelu angeluzuzena. B erpineko angelu zorrotza α (alfa) letra grekoz izendatuko dugu.

α angeluaren oinarrizko arrazoi trigonometrikoak sinua, kosinua eta tangentea dira. Hau da horietako bakoitzaren definizioa:

Oharra: tg α eta tag α ere erabiltzen dira α angeluaren tangentea idazteko.

Definizio hori ez da aukeratutako triangeluaren menpekoa. Ikus dezagun zergatik.

Izan bedi A’B’C’ beste triangelu angeluzuzen bat, non a angelua B’ erpinean dagoen. AAA antzekotasun irizpideagatik, ABC eta A’B’C’ triangeluak antzekoak dira, α eta 90^o-ko angelu homologoak balio bera dutelako. Beraz, triangelu bakoitzaren alde homologoak proportzionalak dira:

oinarrizko_arrazoi_trigonometrikoak.mp4

Sarritan triangelu bateko angeluak adierazteko erpineko letra larriari gainean txapela jartzen diogu.

Ebatzitako jarduerak:

Kalkulatu b = 30 cm-ko eta c = 40 cm-ko katetoak dituen ABC triangelu angeluzuzenaren angelu zorrotz bakoitzerako arrazoi trigonometrikoak.

OINARRIZKO ERLAZIOAK

α angeluaren arrazoi trigonometrikoetako bat ezagutzen badugu, jarraian datozen oinarrizko erlazioak erabilita, posible da gainerako bi arrazoi trigonometrikoak kalkulatzea:

LEHENENGO OINARRIZKO ERLAZIOA:

Sarritan, sin ²α + cos ²α = 1 ikus dezakezu idatzita. Arrazoi trigonometrikoen berretzailea, laburduraren azken letraren gainean jarri ohi da (karratura jasotzen dena arrazoi trigonometrikoa da eta ez angelua) eta jarraian angelua idazten da.

BIGARREN OINARRIZKO ERLAZIOA:

Ebatzitako jarduerak:

α angelu zorrotza dela jakinda, kalkulatu α-ren beste arrazoi trigonometrikoak kasu hauetarako:

a) sin α = 1/4

b) tan α = 3

BESTE ZENBAIT ARRAZOI TRIGONOMETRIKO ETA HORIEN ARTEKO ERLAZIOAK

α angeluaren beste arrazoi trigonometriko batzuk hauek dira: kosekantea, csc α ; sekantea, sec α; eta kotangentea, cot α.

Lehenengoa begi-bistakoa da, definizioan oinarritzen delako. Bigarrenak eta hirugarrenak froga antzekoa dute; beraz, bigarrena frogatuko dugu eta hirugarrena proposaturiko jarduera bezala utziko dugu.

30^o-ren, 45^o-ren eta 60^o-ren ARRAZOI TRIGONOMETRIKOAK

30^o-ren eta 60^o-ren arrazoi trigonometrikoak

Izan bedi L luzerako aldea duen triangelu ekilateroa. Oinarriarekiko altuera (h) marrazten dugu. Horrela, bi triangelu angeluzuzen berdinetan banatua geratzen da gure triangelua; haren angeluek 90^o, 30^o eta 60^o balio dute. Hipotenusak L neurtzen du, eta oinarriko katetuak L/2. Pitagorasen teorema aplikatuta altueraren (h) balioa jakin dezakegu:

ABH triangeluan 30^o-ren eta 60^o-ren arrazoi trigonometrikoak kalkula ditzakegu orain:

45^o-ren arrazoi trigonometrikoak

Kasu honetarako triangelu isoszele angeluzuzen batekin lan egingo dugu. Katetu bien luzera L dela suposatuko dugu. Berriz ere Pitagorasen teoremaz baliatuta hipotenusaren balioa lortuko dugu L ezezagunaren menpe:

Jarraian, 45^o-ren arrazoi trigonometrikoak kalkula ditzakegu:

Laburbilduz, hona hemen arrazoi trigonometriko hauen guztien taula:

TRIANGELU ANGELUZUZENEN EBAZPENA

Triangelu bat ebaztea angeluen balioak eta aldeen luzerak kalkulatzean datza.

Triangelua angeluzuzena denean, hasierako datuen edo hipotesien arabera hiru kasu izan daitezke. Kasu horietako bakoitzean emaitzak lortzeko bide bat baino gehiago egon daiteke; guk bakoitzarentzako bide bana deskribatuko dugu:

Lehenengo kasua: B angelua eta a hipotenusa ezagutzen ditugu.

Â = 90^o denez, Ĉ = 90^o - B izan behar da.

B angeluaren arrazoi trigonometrikoetan oinarrituta, falta diren aldeak lortuko ditugu.

Katetoetako bat ezagutzen dugunean, posible da Pitagorasen teorema erabiltzea bestea kalkulatzeko.

Bigarren kasua: B angelua eta b katetua ezagutzen ditugu.

Â = 90^o denez, Ĉ = 90^o - B izan behar da.

Kasu horretan ere, B angeluaren arrazoi trigonometrikoek aldeen balioak kalkulatzeko balio dute.

Behin bi alde ezagutzen ditugunean (horretarako arrazoi trigonometriko bakarra erabili behar dugu), Pitagorasen teorema aplika dezakegu hirugarrena kalkulatzeko.

Hirugarren kasua: bi alde ezagutzen ditugu.

Pitagorasen teorema erabiliko dugu hirugarren aldea kalkulatzeko, zein hipotenusa izan, zein katetoetako bat izan. Irudiko triangeluan oinarrituta, hau da Pitagorasen teorema:

a² + b² = c²

Angeluetako bat lortzeko, lehenengo eta behin horri dagokion arrazoi trigonometrikoetako bat kalkulatuko dugu, adibidez: sin B = b/a. Angeluaren balioa ezagutzeko sinuaren kontrako eragiketa aplikatuko dugu, arkusinua deitzen dena; horrela, B = arcsin b/a lortzen dugu. Kalkulagailua erabiliz balioa kalkulatu nahi badugu, sin^-1tekla sakatu behar dugu (kontu handia izan, eta ez erratu 1/sin eragiketarekin, kalkulagailuan beharrean lekua aurrezteko sin^-1 idatzi baita).

Ebatzitako jarduerak:

Ebatzi Â angelua zuzena den ABC triangelua bi kasu hauetan:

a) B = 42º eta hipotenusa a = 12 m denean.

b) Katetuek 12 dm eta 5 dm luze direnean.

DISTANTZIAK KALKULATZEKO TRIANGELU ANGELUZUZENEN EBAZPENERAKO APLIKAZIOAK

Triangelu angeluzuzenen ebazpena

Askotan, distantziak kalkulatzeko, triangelu angeluzuzenen ebazpena erabil dezakegu.

Ebatzitako jarduerak:

Kalkulatu zuhaitz baten altuera, eguzki-izpiek lurrarekiko 30^o-ko angelua osatzen dutenean haren itzala 3,5 m luze bada

Behaketa bikoitzaren teknika

Urrun dauden elementuen (eraikinak, mendiak, kale bateko punta banatan dauden elementu bi…) altuerak kalkulatzeko erabiltzen da. Lan hori gauzatzeko, angeluak neurtzen dituen instrumentu berezi bat behar da: teodolitoa (gaur egun, mugikorrean instala dezakegu teodolito birtual bat). Hauxe da lan egiteko era:

Altuera berean kokatuta dauden bi puntutatik (puntu horien arteko distantzia ezagutzen dugu) objektuek eta horizontalak osatzen duten angeluak neurtzen dira. Horrela, alde amankomun bat (altuera) duten bi triangelu angeluzuzen azaltzen dira. Informazio horrekin guztiarekin, ekuazio-sistema bat plantea daiteke arrazoi trigonometrikoak erabilita.

Ikus ditzagun zenbait adibide:

Ebatzitako jarduerak:

1- Bata bestea 30 m-ko distantziara dauden bi pertsonek helikoptero bat behatzen dute. A puntuan dagoen pertsonak, lurrarekiko 30^o-ko angeluarekin behatzen du helikopteroa; B puntuan kokatua dagoenak, ordea, 60^o-ko angeluarekin. Zein altueratan dago helikopteroa?

2- Nork ez darama poltsikoan teodolito bat bidaiatzen duen bakoitzean? Gure institutuko DBHko 4. mailako ikasle talde batek bazeraman Londresera egindako bidaian, eta trigonometriako zenbait praktika egin zituzten harekin.

Westmister-eko abadiaren dorreek 30 metroko garaiera dute; informazio hori erabilita, Big Ben dorrearen garaiera kalkulatu zuten. Eraikin bien arteko puntu batetik (ez du zertan erdi-erdian egon) abadiako punturik gorenena 60^o-ko angeluarekin behatu zuten; eta Big Benekoa, ordea, 45^o-rekin. Bi eraikinen oinarrien arteko distantzia 50 m-koa izanik, zein izan ziren lortutako emaitzak? Zer distantziara zegoen eraikin bakoitza? (Oharra: emandako datuak asmatutako datuak dira).

Page updated

Report abuse