Funtzio baten ezaugarriak

Aurkibidea:

JARRAITUTASUNA ETA ETENAK

MONOTONIA: HAZKUNDEA, MAXIMOAK ETA MINIMOAK

Muturrak: maximoak eta minimoak

KURBADURA: AHURTASUNA, GANBILTASUNA ETA INFLEXIO-PUNTUAK

ARDATZEKIKO EBAKETA-PUNTUAK

Nola kalkulatu ebaketa-puntuak

SIMETRIAK

PERIODIKOTASUNA

JARRERA INFINITUAK

JARRAITUTASUNA ETA ETENAK

Funtzio bat jarraikia edo jarraitua dela esango dugu baldin eta bere grafikoa marrazteko arkatza jaso behar ez badugu.

Oharra: Definizio hau nahiko oso sinplea da eta batxilergoan ikasiko dugu era formalagoan.

Bestalde, funtzioa marraztean arkatza jaso badugu funtzio hori etena dela esango dugu. Hiru eten mota daude:

Saihesgarria. Normalean zatika definitutako funtzioetan gertatzen da. Funtzioko puntu bat ez dago kurban eta beste leku batean dago (marrazkia begiratuta begi-bistakoa da funtzioa etena dela). Zehatzago esanda, arazoa dagoen eten-puntura eskuinetik eta ezkerretik hurbiltzen bagara ez dugu lortzen funtzioak puntu horretan balio duena, baizik eta balio desberdin bat, funtzioaren definizioak horrela dioelako. Kasu horretan definizio-eremua osoa izango da

Jauzi finitukoa. Kasu hau ere funtzioa zatika definituta dagoenean gertatzen da gehienetan. Funtzioak eten-puntuan bi adar ezberdin ditu, eta puntu horretara eskuinetik ala ezkerretik hurbiltzen bagara, balio ezberdinetara hurbiltzen gara; hala ere, balio horiek finituak dira (ondorioz, “bi balio” horien arteko distantzia finitua da).

Jauzi infinitukoa. Normalean adierazpen bakarrarekin definitua dagoen funtzioetan gertatzen da. Eten-puntura hurbiltzean (eskuinetik zein ezkerretik) balioak gero eta handiagoak edo txikiagoak direnean, hau da, infinitura (positibo edo negatibo) hurbiltzen direnean, ematen da eten hori. Kasu horretan, funtzioak asintota bertikal bat duela esaten dugu.

Ebatzitako jarduerak

Esan funtzio hauetan zein puntutan ematen den etena eta zein motatako den.

MONOTONIA: HAZKUNDEA, MAXIMOAK ETA MINIMOAK

Funtzio bat tarte batean konstntea dela diogu baldin eta aldagaia handitzean bere irudia aldatzen ez bada. Hau da, x₁< x₂ ⟹ f(x₁) = f(x₂), x₁ eta x₂ edozein izanik.

Funtzio bat tarte batean hertsiki gorakorra dela diogu baldin eta aldagaiaren balioak handitzean haren irudiaren balioak handitzen badira. Hau da, x₁< x₂ ⟹ f(x₁) < f(x₂), x₁ eta x₂ denentzako.

Funtzio bat tarte batean gorakorra dela diogu baldin eta aldagairen balioak handitzean haren irudiaren balioak handitu edo konstante mantentzen badira. Hau da, x₁< x₂ ⟹ f(x₁) ≤ f(x₂), x₁ eta x₂ denentzako. Beste era batera esanda: aldagaiaren balioak handitzean irudiaren balioak txikitzen EZ direnean.

Funtzio bat tarte batean hertsiki beherakorra dela diogu baldin eta aldagaiaren balioak handitzean haren irudiaren balioak txikitzen badira. Hau da, x₁< x₂ ⟹ f(x₁) > f(x₂), x₁ eta x₂ denentzako.

Funtzio bat tarte batean beherakorra dela diogu baldin eta aldagairen balioak handitzean haren irudiaren balioak txikitu edo konstante mantentzen badira. Hau da, x₁< x₂ ⟹ f(x₁) ≥ f(x₂), x₁ eta x₂ denentzako. Beste era batera esanda: aldagaiaren balioak handitzean irudiaren balioak handitzen EZ direnean.

Funtzio bat tarte batean hertsiki monotonoa dela diogu, baldin eta tarte horretan hertsiki gorakorra ala hertsiki beherakorra bada.

Funtzio bat tarte batean monotonoa dela diogu, baldin eta tarte horretan gorakorra ala beherakorra bada.

Ohartu definizio horiek tarteen araberakoak direla, hau da, funtzio bat konstantea, gorakorra ala beherakorra izan daiteke tarte batean eta ondorengo tartean bere hazkundea alda dezake. Hazkundea, beraz, tartez-tarte aztertzen da.

Adibideak:

Aztertu hazkundea funtzioen grafiko hauetan

Muturrak: maximoak eta minimoak

Funtzio batek puntu batean maximo erlatiboa duela diogu baldin eta bere inguruneko puntu guztien balioetatik handiena bada. Maximo erlatibo guztietan baliorik handiena duen puntua maximo absolutua dela esaten dugu.

Beste modu batera ere uler daiteke maximo erlatiboaren kontzeptua: puntu bat maximo erlatiboa da baldin eta bere ezkerraldean gorakorra eta bere eskuinaldean beherakorra bada.

Funtzio batek puntu batean minimo erlatiboa duela diogu baldin eta bere inguruneko puntu guztien balioetatik txikiena bada. Minimo erlatibo guztietan baliorik txikiena duen puntua minimo absolutua dela esaten dugu.

Beste modu batera ere uler daiteke minimo erlatiboaren kontzeptua: puntu bat minimo erlatiboa da baldin eta ezkerraldean beherakorra eta eskuinaldean gorakorra bada.

Funtzio batek puntu batean maximo ala minimo bat badauka, orduan, puntu horretan mutur bat duela esaten dugu; mutur hori erlatiboa edo absolutua izan daiteke.

Adibidea:

KURBADURA: AHURTASUNA, GANBILTASUNA ETA INFLEXIO-PUNTUAK

Funtzio bat tarte batean ahurra dela diogu baldin eta tarte horretako muturrek sortutako puntuak segmentu batekin elkartzean kurba zuzenki horren azpian geratzen bada.

Funtzio bat tarte batean ganbila dela diogu baldin eta tarte horretako muturrek sortutako puntuak segmentu batekin elkartzean kurba zuzenki horren gainean geratzen bada.

Funtzio baten kurbadura aldatzen den puntua (ahurra izatetik ganbila izatera, edo alderantziz) inflexio-puntua dela diogu.

Lau kasu posibleak goian ikus daitezke, eta definizioa betetzen dutela konproba daiteke. Kurbako bi puntu segmentu bidez elkartzen badira, segmentu hori grafikoaren azpian edo gainean geratzen da. Eskuineko irudi honetan, adibidez, ahur beherakorra den kurba bat daukagu. Ohartu, segmentua kurbaren gainean geratzen dela.

ARDATZEKIKO EBAKETA-PUNTUAK

Funtzio batek OX eta OY ardatza ebaki dezake.

OX ardatza nahi beste aldiz ebaki dezake, OY ardatza, ordea, asko jota behin bakarrik ebaki dezake (behin baino gehiagotan ebakiz gero ez litzateke funtzio bat izango.

Nola kalkulatu ebaketa-puntuak

OX ardatzaren kasuan, bertako puntu denek (a,0) betetzen dute, hau da, y=0 balioa dute. Beraz, f(x)=0 ekuazioa ebaztean lortzen dira ebaketa-puntuak
OY ardatzaren kasuan, berriz, puntuen balioak (0,b) forma dute; ondorioz, f(0) kalkulatzerakoan y-koordenatuaren balioa lortzen dugu.

Ebatzitako jarduerak

Adierazi funtzioaren adierazpen grafikoari erreparatuta zeintzuk diren ardatzekiko ebaketa-puntuak.

OX ardatza

(-1,0) , (0,0) eta (2,0)

OY ardatza

(0,0)

Kalkulatu f(x)=x²+17x-16 funtzioaren ebaketa-puntuak
- - OX
    - - y=0=x²+17x-16 ekuazioa ebatzi behar da. Soluzioak x=16 eta x=1 dira.
      - Beraz OX ardatzaren ebaketa-puntuak (16,0) eta (1,0) puntuak dira
  - OY
    - - x=0 ordezkatu behar da ekuazioan, hau da, f(0) = x²+17x-16 = -16
      - Ondorioz, OY ardatzaren ebaketa-puntuak (0, -16) puntua da.

SIMETRIAK

Funtzio bat bikoitia dela diogu, baldin eta balio baten eta haren kontrakoaren irudia bera badira.

f(-x) = f(x)

Propietate horren interpretazio geometrikoa hau da: funtzioa OY ardatzarekiko simetrikoa da. Hau da, papera ardatz horretatik tolesten badugu, grafikoaren alde biak bat badatoz.

Adibidea:

f(x)=x² funtzio koadratikoa bikoitia da:

f(x) = (-x)² = x² = f(x)

Funtzio bat bakoitia dela diogu, baldin eta balio baten eta haren kontrakoaren irudia kontrakoak badira.

f(-x) = - f(x)

Propietate horren interpretazio geometrikoa hau da: funtzioa (0.0) puntuarekiko simetrikoa da. Hau da, grafikoko edozein puntutan hasi eta koordenatu-jatorritik igarotzen den zuzena marrazten badugu, zuzen horrek funtzioaren grafikoa bi puntutan ebakiko du; jatorritik puntu bakoitzerainoko distantzia bera bada, orduan funtzioa bakoitia da.

Adibidea:

Alderantzizko proportzio funtzioa f(x)=1/x bakoitia da:

f(-x) = 1/(-x) = - 1/x = - f(x)

PERIODIKOTASUNA

Funtzio bat periodikoa dela diogu baldin eta bere irudiaren zati bat OX ardatzeko bi noranzkoetan behin eta berriz errepikatzen bada. Errepikatzen den zati horri periodoa deitzen zaio.

Adibidea:

Beheko funtzioa 2 periododun funtzio periodikoa da. Periodoaren luzera altuera berera dauden bi punturen arteko distantzia da.

JARRERA INFINITUAK

Infinitura ezin gara heldu (Buzz Lightyear erratua dago). Hala ere, funtzio bat aztertzerakoan balio handietan zer gertatzen den jakiteak informazio asko ematen digu. Horregatik gomendatzen da grafiko bat marraztean, balio positibo oso handien eta balio negatiboa oso handien irudiak kalkulatzea, azken finean infinituaren baliokideak baitira.

Kasu batzuetan lorturiko irudiak oso handiak (zeinuari erreparatu gabe) dira, eta, beraz, adierazita daukagun plano kartesiarraren zonaldetik ateratzen gara. Baina beste kasu batzuetan, balio finitu batera hurbiltzen gara. Horrela, -ren balio oso handietarako, funtzioa zuzen horizontal (asintota horizontal deituko duguna) batera hurbiltzen da.

Ebatzitako jarduera

Marraztu

funtzioa balio positibo zein negatibo oso handiak emanez

Page updated

Report abuse