חידה מס 19

לפניכם שדה מוקשים!

השדה מגודר כולו, ויש בו רק נקודת כניסה אחת, ונקודת יציאה אחת.
הדרך הבטוחה היחידה לצעוד בשדה מבלי לדרוך חלילה על מוקש, היא בצעידה על השבילים הירוקים בלבד.
השבילים הם למעשה מעגלים זהים, אשר משיקים לגדר/זה לזה (כפי שניתן לראות בשרטוט).

לא רבים יודעים זאת, אבל כאשר היפאסוס ברח מפיתגורס, הוא נכנס בדיוק לשדה המוקשים הזה, ורץ בדיוק בדרך הבטוחה הקצרה ביותר מנקודת הכניסה אל נקודת היציאה. דרך שאורכה 81.64 מטרים (בקירוב).

פיתגורס וחבורתו, לא יכלו לרוץ בשדה המוקשים (שכן חישוב אורכי השבילים בו כולל את פאי, מספר אי-רציונלי!! אבוי!).
הם רצו מנקודת הכניסה, אל נקודת היציאה, בצמוד לגדר של שדה המוקשים (מצידה החיצוני).

התשובה הנכונה היא: 104
מצורף הפתרון הבהיר של יסמין לבוב מראשון לציון:

אם הייתי רוצה לעבור בדרך הכי קצרה בין שתי נקודות הייתי עוברת בקו ישר שמחבר בינהן.
אבל אסור ללכת חוץ מעל ההיקף של העיגול, לכן אשתדל ללכת על היקף העיגולים כאשר אני נשארת כמה שיותר צמוד לקו ישר דמיוני שמחבר בין שתי הנקודות.
לפי ספירה המסלול הזה יהיה בנוי מ-6 רבעי עיגולים ועוד חצי עיגול. אם נתרגם את זה להיקפים שלמים של עיגול נקבל 2 הקפי עיגול.
היקף של עיגול: 2πR
זה אומר שאורך הדרך הקצרה:

Lh=4πR=81.64m

פיתגורס הלך על הצלעות של המלבן והוא עבר על שתי צלעות מלאות, כי בצלע אחת חסר רדיוס ובצלע השלישית יש עודף של רדיוס שמשלים לצלע הראשונה.

אורך כל צלע של המלבן: 8R

אורך הדרך של פיתגורס:
Lp=2*8*R=16R

אם נחשב R מנוסחה הראשונה ונציב בנוסחה השנייה

Lp=(16*81.64)/(4*3.14)=104m