基本等候模式 (M/M/1):(N/N/FCFS)

(M/M/1):(N/N/FCFS) 提示:

客戶以隨機方式 (依卜瓦松分布) 請求服務,由於請求複雜度不一,因此服務者需要隨機時間 (依指數分布) 提供服務,當服務者正在執行某項服務時,其他客戶便必須等候服務者完成前項服務。

  • 服務系統達到穩態時,
    • 客戶進入等候系統人數 λ 為常數。
    • 平均服務客戶人數 μ 為常數。
  • 在任何一個時段,
    • 客戶進入等候系統事件為獨立。
    • 客戶進入等候系統機率相同。
    • 客戶進入等候系統人數與時段長度成正比。
    • 在極短時間內,超過 1 人進入等候系統機率為 0。

應用一

工廠只有一名維修員,維修員負責管理 3 台設備,平均每部設備運轉 6 天即必須維修,設備維修平均需要 2 天時間方能正常運轉求算:
  1. 維修員閒置機率。
  2. 分別有 1~3 部設備發生維修機率。
  3. 設備等候維修機率。
  4. 服務系統內平均客戶數 L。
  5. 服務系統內平均處理時間 W。
  6. 等候線內平均客戶數 Lq
  7. 等候線內平均處理時間 Wq
rm(list=ls())

options(digits=4)

QueuingFullCapacity <- function(lamda, mu, maxNumOfCustomer) {
  rho <- lamda / mu
  
  sumTemp <- 0
  for (i in 0:3) {
    sumTemp <- sumTemp + (rho ^ i) * (factorial(maxNumOfCustomer) / factorial(maxNumOfCustomer - i))
  }

  P0 <- 1/sumTemp
  Lq <- maxNumOfCustomer - ((lamda + mu) * (1 - P0)) / lamda
  L <- Lq + (1 - P0)
  
  avgLamda <- (maxNumOfCustomer - L) * lamda
  
  W <- L / avgLamda
  Wq <- Lq / avgLamda
  
  ans <- c(rho, P0, L, W, Lq, Wq)
  ans
}

queuing <- function(maxNumOfCustomer, numOfCustomer, rho, P0) {
  Pn <- P0 * (rho ^ numOfCustomer) * factorial(maxNumOfCustomer) / factorial(maxNumOfCustomer - numOfCustomer)
  Pn
}

avgNumOfCustomer <- 1/6
numOfRequestCanHold <- 1/2

ans <- QueuingFullCapacity(lamda=avgNumOfCustomer, mu=numOfRequestCanHold, maxNumOfCustomer=3)
P0 <- ans[2]

print(sprintf("維修員閒置機率=%.4f", P0))
print(sprintf("服務系統內平均客戶數=%.4f", ans[3]))
print(sprintf("服務系統內平均處理時間=%.4f", ans[4]))
print(sprintf("等候線內平均客戶數=%.4f", ans[5]))
print(sprintf("等候線內平均處理時間=%.4f", ans[6]))

for (i in 1:3) {
  Pn <- queuing(maxNumOfCustomer=3, numOfCustomer=i, rho=ans[1], P0=P0)  
  print(sprintf("設備 %d 部維修機率=%.4f", i, Pn))
}

Pn <- queuing(maxNumOfCustomer=3, numOfCustomer=1, rho=ans[1], P0=P0)
print(sprintf("設備等候維修機率=%.4f", 1 - P0 - Pn))
[1] 維修員閒置機率=0.3462
[2] 服務系統內平均客戶數=1.0385
[3] 服務系統內平均處理時間=3.1765
[4] 等候線內平均客戶數=0.3846
[5] 等候線內平均處理時間=1.1765
[6] 設備 1 部維修機率=0.3462
[7] 設備 2 部維修機率=0.2308
[8] 設備 3 部維修機率=0.0769
[9] 設備等候維修機率=0.3077
ċ
Queuing_Formula_3.R
(1k)
李智,
2013年8月22日 上午4:58