Gérard MAAREK 28 novembre 2008
Un exemple numérique
L’Etat est supposé détenir un portefeuille P1 (portefeuille principal), composé d’actifs et d’engagements.
Soit w1i la valeur de l’actif i (i = 1,n) (si w1i < 0, il s’agit d’un passif).
Cet actif produit un rendement ri aléatoire sur la période courante.
Le vecteur r1 des r1i suit une loi normale N(m1, Ω1), où m1 est l’espérance de r1 et Ω1 la matrice des variances et covariances.
Pour optimiser sa gestion, il peut acquérir un portefeuille P2 (portefeuille de couverture) composé d’actifs (ou de passifs) pour des montants w2j (j = 1,m). Il alloue à cette fin une somme W2 = u’w2 = w2’u où u est une matrice (m,1) composée de 1.[1]
Le vecteur des rendements r2 une loi normale N(m2, Ω2).
La loi jointe des (r1,r2) est une loi normale N(m, Ω), où m’ = (m1’,m2’) et
Ω =
Ω2 est une matrice (m,m), tandis que Ω12 est une matrice (n,m). Ω21 est sa transposée. Elle décrit les corrélations entre les portefeuille P1 et P2.
[1] La transposée d’une matrice M est notée M’.
Ω21
Ω1
Ω2
Ω12