Derivadas

Hola gente, la verdad es que estos dias viendo post's lei mucho acerca de la proximidad de parciales/examenes y bueno se me ocurrio ayudarlos esta ves con el tema tan temible en la escuela: "DERIVADAS".

La verdad es que es algo muy simpatico y si practicas mucho seguramente va a ser un 2+2 pero tenes que sentarte un buen rato, aca te tiro las pautas principales como para que veas algún ejemplo explicado en español xD ... :

En realidad si ya vieron el tema en la escuela, seguramente habrán oído del famoso cociente incremental...este mismo en realida da LO MISMO que si derivas por "tabla", la diferencia es que cuando tienen las famosas funciones partidas deberan aplicarlo si o si!!!, si llegan a derivar por tabla una función partida... ESTAS AL HORNO CON PAPAS!!!... no me voy a centrar mucho sobre el cociente, si alguno tiene alguna duda me manda un mp y se lo explicare, pero no se tiene que olvidar que para derivar LA FUNCIÓN DEBE SER SI O SI CONTINUA!!!!!!!!!, en realidad para funciones en donde no hay "problemas" como en las partidas o casos especiales con divisiones etc... al ser funciones elementales como polinomios... vamos a pensarlo de la forma: un polinomio no tiene problemas con ningun valor en su dominio por ende es continuo en todooo su dominio, por ende no se necesita el cociente incremental y puedo derivar por la famosa tablita!!! (polinomis de cualquier grado son continuos, ademas la suma, resta, producto, cociente de continuos da como resultado algo continuo ) , (esto lo aclare para no piensen que SIEMPRE se deriva por tabla ....) .

Si no lo conocen aqui les presento a un amigo, el cociente incremental...

Bueno sigamos adelante... pero ustedes diran uso la tablita, derivo, termine el examen la derivada en el punto que me pidieron da 4, PERO QUE CARAJO SIGNIFICA EL 4?, no se asusten!!! les pasa hasta a los mejores en realidad resumiendo lo que estos señores matematicos investigaron durante TODAAAA su vida es que el valor de la derivada en es mas ni menos que la pendiente de la recta tangente al punto en donde evaluemos la derivadas, por ej: f(x)=x^2 ... esto derivado es (vamos a ver mas adelante pq...) f ' ( x ) = 2x ... y ustedes diran que carajo significa esto??? y buen es facil, fijensen que x^2 es una famosa parabola sonriente... 2x me indica que cuando yo reemplaze "x" por cualquier punto el resultado sera la PENDIENTE DE LA RECRA TANGENTE AL GRAFICO en ese punto... seria algo asi :

_ ACLARACION : xo es el punto , acuerdense que sobre el eje "x" tenemos el dominio de la funcion ( lo que la funcion puede "comer"sobre el eje "y" tenemos el famoso "espejo" del dominio ( osea lo que te devuelve la funcion) ... osea la "imagen" de la funcion... pero bue si no te acordas repasalo, f(xo) seria la imagen de xo, obviamente sobre el eje "y", y en AZUL tenemos nuestra FAMOSA RECTA TANGENTE... en resumente la recta esa que esta en azul es lo que obtenemos al derivar alguna funcion en un punto xo ( GRABATELO!!!).

Pasemos a la tablita de derivadas ( voy a poner una MUY basica... solo como para entrar en calor):

Vamos a la explicacion en español ( un profe de matematicas me va a querer matar pero bue jeje) ...

a) y=constante y'=o , ACLARACION IMPORTANTE el ( ' ) significa derivada!!!.... y otra cosa que la gente suele no darse cuenta y = f (x ), osea si ven y ' es lo mismo que f ' (x).... se leee como la funcion derivada o f derivada etc...

Cuando estamos en presencia de una constante GRABENSELO !!! LA DERIVADA DE UN NUMERO ( CUALQUIERA) DA CERO ej: a) f (x) = 2 ---> f ' (x) = o

b) f (x) = 1000000 ---> f ' (x) = o

c) f(x) = 99999999999 ---> f ' (x) = ADIVINASTE!!! da CERO

b) y = x o tambien escrito de otra forma f (x) = x , cuando derivao un polinomio ( este caso de grado 1 ) , arriba tendria un 1 osea x^1, lo que tenes que hacer es restarle 1 .. osea te quedaria 0 , y cualquier cosa elevada a cero es 1 !!! ( TAMBIEN LO PODES SACAR USANDO LA REGLA DEL PRODUCTO DE DERIVACION QUE SE MUESTRA MAS ABAJO, pero asi me parecio mucha mas practico !!! ) y multiplicarselo adelante... osea que solamente te quedaria la constante!!! SIEMPRE PASA ESTO, osea

a) f (x) = x ---> f ' (x) = 1

b) f (x) = 4383x ---> f ' (x) = 4383

c) f (x) = x ^2 ( o a cualquier exponente... puede ser 10000 ) , aca hacemos lo mismo... restamos 1 al exponente, osea al 2 y ese 2 lo bajamos... y lo ponemos multiplicando :

a) f (x) = x^2 ---> f ' (x)= 2.x^1

b) f (x)= x^3 ---> f '(x)= 3.x^2 ( osea bajamos el 3 y en exponente restamos 1)

c) f (x) = x^999 ---> f ' (x) = 999.x^998 .... como vemos es siempre lo mismo

d) Aca nos encontramos con las exponenciales (numeros con exponentes(variables) lo gaucho!!!

Estan son Re faciles... acordate de esto y listo ni lo explico

f (x) = A^x ---> f ' (x) = A^x . ln A ( A es un numero , ln es logaritmo natural) como veran es mas acordarse la formulita que otra cosa...

e) El seno y el coseno pasa lo mismo!!! : f (x) = sen (X) ---> f ' (x) = cos (x)

y f (x) = cos (x) ---> f ' (x) = -sen (x) ACA PASA LO MISMO ACORDATE ESTO Y CHAU...

Antes que dar el tangente vamos a ver que pasa cuando en la funciones tenemos producto !!!!... ( osea multiplicacion) : f ( x ) : 2x . x ---> f ' (x) = (2x)' . (x) + (2x) . (x) ' , en castellano ahora, el primero derivado por el segundo sin derivar mas el primer sin derivar por el segundo derivado ( primero es: 2x , segundo es: x ) .

Y listo el pollo!!! quedaria: f ' (x) = 2.x + 2x .1

Ademas tenemos el odiado cociente !!! ( osea division) .. les dejo la formula en una imagen para que sea mas entendible !!! :

resumiendo: el primero derivado por el segundo sin derivar MENOS el primero sin derivar por el segundo derivado y TODO esto sobre lo de abajo del cociente al cuadrado ( mirate la fotito que en ese caso es "v" ) ...

F) Bueno si miran en la tabla la derivada de la tangente en realidad se la pueden acordar de memoria o directamente podes pensar un poco... la tangente (x) es : seno (x) / coseno (x) y si aplicas la formulita de la derivada para las divisiones sale!!! pero te recomiendo recordarla y listo...

Lo mismo pasa con las otras !!! creo que no suman , acordatelas de memoria y listo.

Lo que nos faltaria ver son las derivadas compuestas... vos diras que carajo es eso si ya con esto se me esta quemando el cerebro y bue falta un poquito para ver el tema bien bien ... una derivada compuesta dicho en español ( para poder reconocerla facilmente) son aquellas funciones que no aparecen TAL CUAL estan en la tabla.. por ejemplo : f (x) = sen ( 2x) ... vos vas a estar tenta a decir que f ' (x) = cos (2x) , pero no... ya que sen ( 2x) no aparece en la famosa tablita y para derivar funciones compuestas ya es otra cosa mariposa asi que lo dejamos para la proxima ,si a algun mortal le interesa puedo seguir con el tema si no bueno posteare algun video de youtube!!! XD

Derivada de la función seno

Derivada de la función coseno

Derivada de la función tangente

Derivada de la función cotangente

Derivada de la función secante

Derivada de la función cosecante

Ejemplos

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