Embedded Files
SUCESIONES Super facil - Para principiantes
Qué es una Sucesión
Sucesión
Sucesión
Una sucesión matemática, en términos formales, es una función aplicada al conjunto de los números naturales, de manera que se obtienen un conjunto de números reales.
Para explicarlo de otra forma, una sucesión matemática es una secuencia ordenada de números, y a cada uno de estos elementos se les denomina término.
A diferencia de los conjuntos, en una sucesión el orden de los elementos sí importa.
En este punto, debemos recordar que los números naturales son los que incluyen a los números enteros y positivos.
Asimismo, los números reales agrupan todos aquellos números naturales, enteros, racionales e irracionales. Es decir, van de menos infinito a más infinito.
Como mencionamos previamente, la sucesión es una función sobre el conjunto de números naturales, siendo una función discreta, tomando valores específicos según su número de orden, sin tomar valor en el intervalo. Es decir, existe el término 1, el término 2, el término 3, y así sucesivamente, pero no existe el término 1,5.
Otro punto a tener en cuenta es que una sucesión puede ser finita o infinita.
Concepto de sucesión
Concepto de sucesión
Una sucesión (o progresión) es un conjunto de números ordenados. Cada número ocupa una posición y recibe el nombre de término.
Ejemplo
Un ejemplo de sucesión es el conjunto de los números pares: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,...
El término que ocupa la posición n se denota por an y se denomina término general o término n-ésimo.
Ejemplo
En la sucesión de las pares, el primer término es a1 = 2 y el sexto es a6 = 12. El término general es:
an=2⋅n
Sucesión aritmética
Sucesión aritmética
Una sucesión es aritmética cuando cada término se obtiene sumando un número al término que le precede. Este número se denomina diferencia y se denota por d.
Fórmula para calcular la diferencia:
Es decir, la diferencia se obtiene restando términos consecutivos.
Si la diferencia entre dos términos consecutivos no es constante en toda la sucesión, entonces la sucesión no es aritmética.
Sucesión creciente y decreciente
Sucesión creciente y decreciente
Una sucesión es creciente cuando cada término es mayor que el anterior:
an+1 > an
Esto ocurre cuando la diferencia es positiva: d > 0.
Una sucesión es decreciente cuando cada término es menor que el anterior:
an+1 < an
Esto ocurre cuando la diferencia es negativa: d < 0.
Nota: si la diferencia es d = 0, la sucesión es constante (todos los términos son iguales).
Término general
Término general
Se puede calcular cualquier término de la sucesión mediante una fórmula (fórmula o término general). Esta fórmula se obtiene a partir del primer término y de la diferencia:
Suma de n términos
Suma de n términos
Primera fórmula:
Conociendo el primer término y el término n-ésimo de la sucesión, podemos calcular la suma de los n primeros términos con la fórmula.
Segunda fórmula:
También podemos calcular la suma de los n primeros términos a partir del primero y de la diferencia con la fórmula.
Nota: la fórmula se obtiene al sustituir la expresión del término general an en la primera fórmula de la suma Sn.
Problemas Resueltos
Problemas Resueltos
Problema 1
Calcular la diferencia de las siguientes sucesiones:
11, 13, 15, 17, 19,...
11, 16, 21, 26, 31,...
10, 6, 2, -2, -6, -10,...
Para calcular la diferencia tenemos que restar términos consecutivos. Restaremos el segundo y el primer término.
11, 13, 15, 17, 19, ...
La diferencia es d = 2.
1, 16, 21, 26, 31, ...
La diferencia es d = 5.
10, 6, 2, -2, -6, -10, ...
La diferencia es d=−4.
Nota: Es aconsejable comprobar que la diferencia es constante en toda la sucesión (si la sucesión no es aritmética, esto no ocurre).
Problema 2
¿Cuál de las siguientes sucesiones no es aritmética?
16, 26, 36, 46,...
16, 6, 13, 3,...
-26, -36, - 46, -56,...
La segunda sucesión no es aritmética porque la diferencia entre el segundo y el primer término es -10, mientras que la diferencia entre el tercero y el segundo es 7.
Problema 3
¿Cuál es el segundo término de la siguiente sucesión aritmética?
5,a2,21,29,...
La diferencia entre el cuarto y el tercer término es:
Calculamos a2 sumamos la diferencia al primer término:
Comprobamos que la diferencia entre el tercer y el segundo término también es 8:
Problema 4
Calcular los dos siguientes términos de las sucesiones aritméticas:
45, 55, 65,...
11, 22, 33,...
87, 76, 65,...
¿Cuál es la diferencia de estas sucesiones?
Solución
45, 55, 65,...
La diferencia de la sucesión es 10. Por tanto, los dos siguientes términos son 75 y 85.
11, 22, 33,...
La diferencia de la sucesión es 11. Por tanto, los dos siguientes términos son 44 y 55.
87, 76, 65,...
La diferencia de la sucesión es -11. Por tanto, los dos siguientes términos son 54 y 43.
Problema 5
Si dos sucesiones tienen la misma diferencia, ¿son la misma sucesión?
No. Si la diferencia es la misma pero el primer término es distinto, las sucesiones son diferentes. Por ejemplo, la sucesión de los pares y la de los impares tienen diferencia d = 2, pero son distintas:
Page updated
Report abuse