PERIMETRO Y ÁREA

Bruno está planeando iniciar un negocio de elaboración de manteles de diferentes formas y tamaños. Ha pensado en algunas figuras que podría utilizar como plantilla, éstas son: un cuadrado, un triángulo equilátero, un rectángulo y un hexágono regular.

Para saber la cantidad de material que va a utilizar en la elaboración de cada mantel, necesita calcular el área y el perímetro de las figuras que ya seleccionó.

Ayudemos a Bruno a recordar esta información. Si Bruno decide elaborar manteles en forma de cuadrado, tiene que considerar que se trata de una figura de cuatro lados de igual tamaño.

Para calcular el perímetro, se suma cada uno de los lados de la figura, a+a+a+a; al tratarse de una suma repetida del mismo valor, el perímetro se puede expresar también como 4a, en donde la literal “a” representa el lado del cuadrado. De esta manera sabemos que con la expresión P=4a, podemos obtener el perímetro de cualquier cuadrado.

¿Qué tendría que hacer Bruno si lo que quiere saber es el área del mantel?

Una multiplicación, considerando que la superficie de una figura se mide a partir de unidades cuadradas. Para calcular el área, Bruno puede contar el número de unidades cuadradas que integran a la figura, o bien multiplicar la medida de sus lados (a) por (a), que es equivalente a la expresión a2 (a, al cuadrado).

Analiza: si Bruno elabora manteles en forma de cuadrado de 4 metros de lado, para calcular el perímetro es necesario sumar los cuatro lados de la figura.

¿Y sólo sumando se puede encontrar el perímetro?

También puedes multiplicar por cuatro la medida del lado. En este ejemplo, multiplicamos 4 lados por los 4 metros que mide cada lado de la figura, así sabemos que el perímetro del mantel será de 16 metros lineales.

Para calcular el área, multiplica 4 metros por 4 metros, como lo indica la expresión, porque 4 metros es lo que mide por lado el cuadrado, así sabemos que el área del mantel será de 16 metros cuadrados.

Para elaborar manteles en forma rectangular, Bruno sabe también que esta figura tiene cuatro lados con dos pares de lados iguales.

De manera que, para conocer el perímetro de un rectángulo, hay que sumar la medida de cada uno de sus lados, b+d+b+d; considerando que esta figura tiene dos pares de lados iguales, esta expresión también se puede representar como 2b+2d, en donde “b” representa el largo o base del rectángulo, y “d” el ancho o alto.

Calcular el área del rectángulo es un proceso similar a la del cuadrado. Tomando en cuenta que la superficie se mide mediante unidades cuadradas, en este caso basta con contar la cantidad de cuadrados que hay en la superficie del rectángulo, o bien multiplicar la medida del largo (b) por la medida del ancho (d), así sabemos que la expresión A= bxd (b por d) puede utilizarse para calcular el área de cualquier rectángulo.

Si Bruno decide hacer manteles en forma de rectángulo que midan 4 metros de largo y 2 metros de ancho, para calcular el perímetro se suman los cuatro lados de la figura.

¿Qué pasa si Bruno necesita hacer manteles en forma de triángulo equilátero?

Debe tomar en cuenta que se trata de una figura de tres lados iguales y, para calcular su perímetro, hay que sumar la medida de cada lado, esto es, b+b+b.

También puedes expresar el perímetro de la siguiente manera: 3b (el triple del valor de b), en donde la literal “b” representa la medida de lado de cualquier triángulo equilátero.

Respecto del área, recuerda que, en comparación con un rectángulo de la misma base y altura que el triángulo, éste siempre representará la mitad de su área; de esta forma, para calcular el área de un triángulo, se multiplica la base por la altura y el resultado se divide entre dos.

Este proceso se generaliza con la expresión que seguramente ya conocen: el área del triángulo es igual a base por altura sobre dos.

Si Bruno tiene pensado hacer una plantilla para elaborar manteles en forma de triángulo equilátero que midan 4 metros de lado, entonces puede sumar la medida de los tres lados del triángulo: 4+4+4, y al efectuar la suma obtenemos 12 metros, que corresponden a la medida del contorno o perímetro del mantel.

Es más eficiente si multiplicamos 3 por los 4 metros que mide cada lado, y también obtenemos 12 metros como resultado.

Ahora observa qué pasa con el área. ¿Qué tiene que hacer Bruno si lo que quiere saber es el área del mantel en forma de triángulo equilátero?

Ahora ve qué sucede si Bruno necesita hacer manteles en forma de hexágono regular.

Como ya sabes, un hexágono regular es un polígono de 6 lados iguales y 6 ángulos interiores iguales.

¿Y cómo calculas el perímetro y el área de un hexágono?

Cualquier superficie plana de lados rectos como los polígonos, y en este caso, del hexágono regular, pueden dividirse en triángulos y así calcular su área como la suma de las áreas de dichos triángulos.

Un hexágono regular se puede dividir en 6 triángulos equiláteros; observa.

Al dividir el hexágono a partir del centro hacia sus vértices, obtenemos 6 triángulos iguales con igual medida de base y altura.

Con base en lo anterior, aun sin conocer la medida del lado del hexágono, sabemos que todos sus lados miden lo mismo, porque se trata de una figura regular. En conclusión, el perímetro se obtiene sumando c+c+c+c+c+c, o bien multiplicando 6c (seis por “c”), en donde la literal “c” representa el lado de cualquier hexágono regular.

¿Y qué sucede con el área?

Hace un momento explicamos que un hexágono regular puede ser descompuesto en 6 triángulos con igual base y altura.

Esta información te ayudará a establecer una expresión que permita calcular el área del hexágono. Pero antes, debes saber que en un polígono regular la altura de los triángulos en los que se descompone se llama apotema, y es la distancia de su centro al punto medio de cualquiera de los lados del polígono regular.

Una forma de calcular el área de un hexágono regular a partir de la descomposición en triángulos es sumar el área de los 6 triángulos obtenidos, o bien calcular el perímetro de la figura y multiplicar el resultado por la medida del apotema, dividiendo el producto obtenido entre dos.

Ahora Bruno sabe que con la expresión A=p(a)/2 (área es igual al perímetro por la apotema entre dos), es posible obtener el área de cualquier hexágono regular

Verifica que las expresiones antes mencionadas nos ayudan a calcular el perímetro y el área de un hexágono regular.

Si Bruno elabora un mantel en forma de hexágono que mida 4 metros de lado y tiene 3.5 metros de apotema.

Utiliza la expresión 6c para calcular el perímetro del mantel, esto es, multiplicar 6 lados por los 4 metros que tiene cada lado del hexágono; al efectuar la multiplicación obtienes 24 metros que corresponden al perímetro del mantel.

Esto puede parecer muy fácil, pero tengo una duda: ¿esta expresión también se aplica para el área?

Ahora pon en práctica lo que has aprendido con el siguiente problema.

Bruno hizo los siguientes diseños para hacer algunos manteles de papel. Él dice que, si se respetan las medidas de éstos, se utilizará la misma cantidad de papel para cada uno, aunque sus formas sean diferentes. ¿Qué piensan de lo que dice Bruno?

Puedes comenzar por analizar los diseños. El primero se trata de un mantel rectangular formado por tres cuadrados de lado “x”.

El segundo diseño se presenta en forma de estrella, para la que se ocupa 1 cuadrado de lado “x” y 4 triángulos de base y altura “x”. ¿Será verdad que ocupan la misma área?

Sí ocupan la misma área, porque si observas los diseños, se ve que cada triángulo equivale a la mitad de un cuadrado.

Para estar seguros y seguras de lo que Bruno dice, es necesario comparar el área de las dos figuras.

No conocemos la medida del lado del cuadrado, pero se tomó como referencia el mismo tamaño para los dos diseños, porque están representados con la misma literal, lo que significa que se trata de la misma medida desconocida.

El primer diseño ocupa tres cuadrados, al igual que el segundo, porque para obtener los triángulos del segundo diseño, se requiere hacer algunos cortes que se acomodan para armar la figura del mantel.

A partir del análisis que has realizado, puedes concluir que Bruno tiene razón: si se respetan las medidas de cada uno de los diseños, se utiliza la misma cantidad de papel.

No importando el diseño, nos damos cuenta de que el área es la misma, porque las expresiones que la representan son equivalentes.

Te invitamos a poner a prueba tus conocimientos adquiridos resolviendo el nuevo reto que enfrenta Bruno.

Ahora Bruno ha decidido contribuir al cuidado del medio ambiente, tener un negocio socialmente responsable y comprometido con el cuidado del medio ambiente; por tal motivo, ha decidido hacer sus manteles con papel reciclado y, además, reducir la cantidad de papel empleado en su elaboración, esto con base en el nuevo diseño que producirá ahora.

Inicialmente el diseño se elaboraba con 5 cuadrados, posteriormente se realizaba con 3 y ahora los realizará con tan sólo 2 cuadrados, como se muestra a continuación.

¿Logrará Bruno reducir realmente la cantidad de papel que se utiliza para la elaboración de los manteles con sus nuevos diseños?

Depende de las medidas de los cuadrados que utilice Bruno.

Sabes que x representa cualquier medida para los tres diseños. Observa sus diseños.

Nota que tómo como referencia nuevamente cuadrados del mismo tamaño, porque representa la medida de lado con la misma literal “x”.

Quizá nos ayude a comprobarlo si calculamos el perímetro y el área de los diseños como lo hicimos en el problema anterior.

Comencemos por analizar el perímetro de cada diseño.

El primer mantel está compuesto por 5 cuadrados de lado “x”.

Para calcular el perímetro, se suman todos los lados de la figura, siendo el perímetro del diseño uno del mantel igual a la suma de 12 veces el valor que representa la literal “x”, o bien el producto de 12 por el valor de la literal “x”.

En el diseño dos del mantel, la medida de los lados es diferente porque se representa con la literal “y”.

Para calcular el perímetro, se suman todos los lados de la figura, y el perímetro del diseño dos del mantel es igual a la suma de 8 veces el valor que representa la literal “y”, o bien el producto de 8 por el valor de la literal “y”.

Por último, para calcular el perímetro del diseño tres del mantel, únicamente se suman cada uno de los lados de la figura, expresados como un medio de “x” y 2w; al efectuar las operaciones obtenemos la expresión 2x+8w, que representa el perímetro del mantel.

Entonces, la primera expresión y la segunda expresión en cada diseño, ¿representan lo mismo? Sí, ambas expresiones en cada diseño son equivalentes.

Ahora analiza el perímetro resultante de cada diseño con ayuda de la siguiente tabla: “Perímetro de figuras”.

Al comparar la expresión algebraica que representa el perímetro de cada diseño que Bruno elaboró, puedes notar que los tres resultados son diferentes, esto significa que las tres figuras tienen un perímetro distinto.

¿Qué representan las expresiones contenidas en la tabla en relación con los diseños del mantel?

Representan la medida del contorno de los manteles, es decir, el perímetro de cada diseño.

Para saber la cantidad de papel en metros cuadrados que necesita Bruno para elaborar los diseños de mantel, ¿qué necesitas calcular?, ¿área o perímetro?

Con lo que hemos visto, ahora lo que necesitamos calcular es el área, porque lo que buscamos es la medida de la superficie que ocupa cada diseño y ésta se da en metros cuadrados.

Atenta y atento a lo siguiente:

Si observas y analizas detenidamente el diseño número uno, está construido por 5 cuadrados, cuya medida del lado está representada por la literal “x”.

Para su elaboración, los cinco cuadrados se acomodan en forma de una cruz.

El diseño número 2 está compuesto por tres cuadrados, la medida de cada lado está expresada por la literal “x”; es decir que los cuadrados que se ocupan para este diseño y el anterior tienen la misma medida porque se representan con la misma literal.

En este diseño, dos de los cuadrados se cortan para dar la forma de estrella al mantel.

Por último, puedes ver que el diseño 3 se compone de 2 cuadrados del mismo tamaño que los cuadrados de los diseños anteriores, porque la medida de cada lado se representa con la literal “x”, pero, al igual que en el diseño dos, se hicieron cortes a las figuras originales para dar forma al mantel.

Sí, uno de los cuadrados se corta por la mitad, y los rectángulos que resultan se cortan en diagonal para obtener cuatro triángulos que se acomodan para dar forma al diseño del mantel.

Al comparar los tres diseños, y observar la cantidad de papel empleado en la elaboración de cada uno, podemos notar que Bruno logró disminuir la cantidad de papel.

Analiza el siguiente problema:

El largo del campo de fútbol de la colonia mide 30 metros más que el ancho. Encuentra sus dimensiones y calcula su perímetro y su área.

Para poder resolver el problema, es necesario hacer una representación gráfica del campo de fútbol. ¿Qué forma tiene? Es un rectángulo.

Como te habrás dado cuenta, la figura que representa el campo de fútbol corresponde a un rectángulo, lo que significa que tiene dos lados iguales dos a dos, es decir, sus pares de lados paralelos son iguales.

Para obtener el perímetro es necesario sumar los cuatro lados del campo de fútbol. A través de la tabla se muestran las expresiones que representan la suma de las medidas de cada lado, se realiza la reducción de términos semejantes hasta obtener la expresión algebraica que representa el perímetro del campo de futbol, siendo ésta cuatro equis más sesenta.

Para obtener el área del campo de fútbol es posible utilizar la expresión A=bxh. Si el largo es x+30 y el ancho es “x”, el área del rectángulo será el producto de x+30 por x (equis), así obtenemos la expresión algebraica x cuadrada + 30x, o bien equis elevada a la segunda potencia más treinta equis.

Con lo que has aprendido hoy, determina el valor del perímetro y del área del campo de fútbol si el ancho “x” tuviera un valor de 70 metros.