【數論】

最近，三位研究生 James Leng、Ashwin Sah 與 Mehtaab Sawhney 對於避免長度5的等差數列的問題進行了深入探討，提出大幅改進的上界估計。隨後更推廣到一般長度，這是自菲爾茲獎得主 Gowers 給出避免任意長度等差數列的密度估計23年以來的首次突破，期間僅有Green和陶哲軒針對長度4做出改進。

加性組合學(additive combinatorics)是數學的其中一個研究領域，主要在探討 集合的結構性。一個有趣的地方是，雖然問題看起來像是單純的組合數學問題，但是證明卻經常出現許多不同領域的方法。這次要來跟大家介紹一個經典的問題，等差數列的存在性。

原始集(primitive set)這個概念是由匈牙利數學家Paul Erdős 在1930年代提出的，他使用這種工具來研究完美數(perfect number)。但這一工具在 Erdős 的整個職業生涯中一次又一次地出現，吸引數學家的關注...

今年兩位阿貝爾獎得主的貢獻則是將機率理論及動態系統以巧妙到讓人驚嘆的方式關聯到群論、組合學及數論。

11, 22, 33, …, 99 都是迴文數。 2020/02/02 是有趣的「迴文日」，本世紀只有 12 天，即使擴大到從 0001 年開始也僅有 81 個迴文日，算是相當罕見。這是基於我們慣用的(年/月/日)表示法，常見的用法還有表示成(日/月/年)，這時候 20/02/2002 也是迴文日。所以不同的表示法有不同的迴文日。

我們要先從怎麼比大小開始...偶數就會跟正整數一樣多什麼！？偶數的個數不是應該是正整數的一半而已嗎？這就是違反直覺的地方了。首先呢！偶數跟正整數的個數都是一直數下去也數不完，我們稱其數量是無限（infinity），「無限的兩倍多是什麼東西？」，這就有待商榷...

謝爾頓 (Sheldon Cooper) 是美劇《生活大爆炸》裡面的角色，身分是一位物理學家，這部影集的故事是圍繞著4位理工科天才的生活和工作展開，謝爾頓是其中一位。他在第 73 集說「73 is the best number!」。看到這裡，你可能跟我一樣很好奇，為什麼是 73 ?

正整數的乘法本質上就是「重複做很多次加法」，但很快地我們馬上就會發現這樣進行建構式的乘法，速度太慢，成不了大事，於是大家就背了「九九乘法表」。讀者覺得，是作加法比較快，還是作乘法較快呢？

1974 年 4 月 8 號 (44 年前的今天)，美國職棒大聯盟明星球員漢克阿倫 (Henry Aaron) 擊出個人生涯第 715 隻全壘打，打破了將近四十年無人能破的紀錄，這項紀錄正是棒球名人堂元老級的超級巨星貝比魯斯 (Babe Ruth) 所創下的生涯 714 隻全壘打。破紀錄那一刻開始，幾乎全美國都在說這兩個數字「714 vs 715」。

在很久很久以前，有一類數被古希臘數學家認為很美好，它們可以寫成自己所有正因數(除了自己)的和，這樣的數就稱為「完美數（perfect numbers）」。例如 6 的正因數有 1, 2, 3, 6，剛好 1+2+3=6；28 的正因數有 1, 2, 4, 7, 14, 28，剛好 1+2+4+7+14=28，所以 6 和 28 都是完美數，每年的 6 月 28 日也因此被稱為「完美日 perfect day」。

在 0 的小數點之後加無窮多個 9 是否等於 1 呢？總是有人堅持等號是不成立的，或者有人推論等號成立的理由似是而非。首先就來談論這個問題，並且不打算用級數收斂這類高深的數學來加深數學對社會普羅大眾的摧殘。接下來，我們將會談論一些有關無窮的事情...

數論（Number Theory）稱得上是經過千錘百鍊歷久彌新，其中關於「質數(prime number)」的神祕最讓人津津樂道和著迷。不只數學家熱愛，世界上還有許多業餘人士為質數瘋狂不已...

長久以來，數學家對於質數的研究不曾少過，但質數還是非常神秘，解開質數之謎可以算是數學界最重要的工作之一，不少知名的重要猜想都和質數有關...

2013 年全球數學界最轟動的事件，肯定是華裔數學家張益唐劈開擋在百年數學難題「孿生質數猜想」前面的巨石。在張劈開大石之後，一群數學家瘋狂投入研究在張劈開大石之後，一群數學家瘋狂投入研究...