1988 年的數奧傳奇

張貼日期：Sep 14, 2020 3:21:43 AM

每一年主辦國也有自己設計的 LOGO，圖中央為 1988 年澳洲數奧的袋鼠 LOGO (取自官網 https://www.imo-official.org/)

國際數學奧林匹亞(數奧)是一個連續比兩天的國際數學競賽，是專門給各國數學頂尖的中學生參加的數學腦力挑戰，可以說是數學界的奧運，不同於奧運的是數奧每年都舉辦，賽期大約落在夏天。加上比賽前後的一些準備和相關活動，每年整個賽期會持續 10 至 14 天。每個數奧會員國可派出最多 6 位選手加上 1 個領隊、1 個副領隊和幾位觀察員。每天比賽時間為 4.5 個小時，題目只有 3 題，都是證明題，每題滿分 7 分，平均分配每題可使用的解題時間是 90 分鐘。

時間回到 1988 年的澳洲，那屆數奧發生了一件很神奇的事，後人稱之《傳奇的第六題》。顧名思義，那是關於當年第六題的故事。簡單說，整個故事就是當年有一道非常困難的題目（後來甚至有媒體稱它為「史上最難的數奧題目」），連該領域的數學專家都沒辦法短時間解決的那種，結果居然有高中生用簡單的方法突破盲腸解開了！

這道《傳奇的第六題》是一位西德數學家設計，據說在他設計出這道得意題目後，首先寄給幾位專門研究數論的數學家朋友，給他們六個小時找出解答，結果這些數學專家沒有人能夠提出一個解答。對！沒有人！然後，不知道怎麼回事的他就把這道題投稿給當年的數奧大會，也不知道哪根筋不對，當年的選題委員會最後竟然把一題連專家花 6 小時都解不太出來的題目選進去給一群高中生比賽，而每一題平均還只有 90 分鐘可以作答。

數奧就是這麼神奇的地方ＸＤ

下圖是 1988 年六道題目分別的得分統計。

有沒有發現第六題的得分好像突然從 0 分 然後 1 分就要貼到地板了。當年全球總共有 268 人參賽，其中 189 位選手在這題得到 0 分，57 位選手得到 1 分，分別有 3 位和 5 位選手得到 2 分和 3 分，得到 4 到 6 分的各一位，出人意料的是滿分的竟然還有 11 位選手，而最特別的是在這當中有一位選手給出了跌破專家眼鏡的神奇解答，讓這題成為數奧傳頌多年的經典。

不過，時至今日這道題目已經不算最難了，以得分來看的話，將近三十年後的 2017 第三題才是當今數奧史上最難的紀錄。這一題只有 2 個人得到滿分，重點是全部幾百個學生只有 14 個人不是零分 QQ (以後若有機會我們再來為大家解說這道題。)

1988 年還有一件特別值得一提的事。當年的主辦國是澳洲，澳洲當時有一個已經聞名於數學界的特別聰明的傢伙，這人在還沒滿 11 歲的時候就被澳洲派出去當國手參戰，11 歲還只是個小學生，是要逼死誰啊～啊～啊～

結果，最後這個小學生還拿了個銅牌回來，這個最年輕的參賽獲獎紀錄到現在還沒人能打破；第二年參戰，又贏得銀牌載譽歸國。隔年，這傢伙不意外又出現了，這次終於拿到了金牌。

那年，正是 1988 年。

那年，他才只有 13 歲。

於是，澳洲有一個數學神童的傳言就此傳了開來。這個人就是 2006 年獲頒數學界最高榮譽之一的菲爾茲獎的得主，華裔數學家陶哲軒（Terence Tao）。

猜猜陶哲軒當年第六題得到幾分？

（以下防雷）

上圖中最後一列是陶哲軒當年的成績，排名第 13，第六題只得了 1 分。

公布答案：1分。對，只有1分。

《傳奇的第六題》的解法

八卦說完了，我們來給大家稍微講解一下《傳奇的第六題》的神奇解法，題目是這樣子：

假設 a 和 b 都是正整數，而且 a² + b² 除以 ab+1 是一個正整數 k。證明 ｋ 必定是某個正整數的平方。

所謂「神奇的解法」是這位高中生使出一招現在叫做「韋達跳」的技巧，韋達跳的原理非常簡單，就是一般台灣國高中生都必學的「一元二次方程式的根與係數的關係」：

如果 α 和 β 分別為 ax² + bx + c = 0 的兩個解(根)，那麼［兩根之和］［兩根之積］與係數的關係為:

α + β = -b/a 且 αβ = c/a。

當年巧妙解法的思路是反證法。

假設原題的敘述是錯的，也就是存在兩個正整數 a 和 b 的反例，它們滿足 a² + b² 除以 ab+1 是一個正整數卻不是完全平方數。

第一個觀察是，這樣的兩個數字必定不相等。因為 2a² 除以 a² +1 肯定小於 2，且 a=b=1 明顯不是反例。(感謝讀者兼前國手林庭風指出原證明這項缺漏)

假設兩個正整數 m 比 n 大且 (m, n) 就是其中一組反例，而且是所有反例裡面 m+n 最小的。

【到這裡，有件事要特別留意，m+n 最小的反例之所以存在是直接用了所謂的無窮遞降法或稱最小反例法的東西，本質上來講就是「良序性」或高微會學到的「有界單調數列一定會收斂」。幾百年前的法國數學家費馬是這招的愛用者，現在這招在數學界已經是非常常見的慣用招式。】

然後接著講，經過一些推導會得出另一組反例 (t, n)，但是 t 卻比 m 小，這和之前說 m+n 是最小的假設衝突，得到矛盾。因此所謂最小的反例根本不存在，但是要先有反例才有最小反例啊，也就是說，從頭到尾根本就沒有反例，得證。

以下推導過程寫給有興趣知道韋達跳用在哪裡的讀者

作者簡介

陳宏賓 － UniMath 創辦人、中興大學應用數學系助理教授。

數學既深且廣，我懂得不多，最喜愛組合數學相關領域，主要研究興趣是群試理論、圖論及最優化分解。2013 年出版「Partitions: Optimality and Clustering, Volume II: Multi-Parameter」一書（與 Uriel Rothblum 和 Frank K. Hwang 教授合著）。對於數學和教育有強烈的熱忱和使命感，積極創立 UniMath 電子數學媒體，致力於推廣數學文化。