[成果速報] 2021國際數奧與史上最難的第二題

張貼日期：Jul 25, 2021 11:3:44 AM

一年前我們在這裡為大家報導了史上第一次以遠距進行的2020年國際數學奧林匹亞（以下簡稱數奧）。一年過去了，疫情還沒過去，2021年的國際數學奧林匹亞跟去年一樣，還是遠距舉行 L

不一樣的是，今年台灣隊選手比往年都還要辛苦。由於國內疫情關係，今年的選手從三級開始，就只能以遠距方式進行培訓，這是台灣隊從未碰過的狀況，對選手以及培訓教師們都是非常大的挑戰。

今年台灣隊繳出一金三銀二銅的成績單，總分在107個參賽國中排名第九，與英國並列。其中來自師大附中的辛瑋軒同學，勇奪個人世界第三的佳績，誠屬不易。

這樣的成績和往年比起來「好不好」呢？老實說，數奧成績實在不能這樣比！不僅選手名單每年都在變化，這也是一個要求每年都是全新題目的競賽，每位參賽選手純憑一己之力，短時間燃燒小宇宙去挑戰前所未見的題目，變數很多，再者，根據給獎規則，能不能獲獎不僅和個人成績有關，也和其他選手的成績有關。換言之，每年的成績，都深受當年題目及其他國家的表現而定。在這種狀況下問「今年台灣隊跟往年成績比起來好不好？」，老實說，不是很有參考價值，更不用說以此來論斷教改在數學方面的議題。

IMO史上最難第二題

不過，有一件事情倒是可以跟其他年份相比較一下的：今年的數奧，出現了史上最難的「中等」第二題。

在這邊先為沒有讀過去年介紹文的網友說明一下：數奧每次考兩天，每天考三題，「理論上」每天題目的難度遞增。換言之，「理論上」第二題應該是一個中等難度的題目，要明顯比第一題難，比第三題簡單。

今年的第二題完全不是這麼一回事。這是今年六道題目的得分分布。請留意數奧的滿分是七分，所以P2那一格的16的意思是就是，在全部600多名考生中，只有16個人全對。注意到這數字幾乎跟第三題的全對15人是一樣的了。平均得分也是：第二題平均0.375分，第三題平均0.372分。

這樣的第二題到底有多難呢？在今年之前，最難的第二題是2011年荷蘭的風車題，當年的成績分布如下：

當年風車題的平均得分是0.654分，比第三題低上不少，在當年已經令人為之譁然。然而今年第二題的得分，幾乎比風車題還要低上快一倍了，足以說明這題的難度。

那究竟是什麼題目這麼困難呢？容我為各位介紹這道史上最難的第二題：

．．．蛤，就這樣？

對，就這樣。就是這麼一條式子，炸飛了全球六百多名考生。

※ ※ ※

以上解答也許對大家而言有點複雜，但對於選手而言，要理解這個解答並不難。難的是要怎麼想到。而這，就是這道題目很令人髮指的地方了。結果就變成全球只有16個人答對，史上最難的第二題，以下來說給大家參考。

首先，這一題的關鍵是一個函數呈現局部凹性的特質，換句話說，和函數的二次微分有關。這是非常大一微積分的東西，就大會競賽規章而言，算是在會盡量迴避的範圍中。

事實上，過往的數奧不等式，多半會刻意出用微積分很難被處理的題目，如2005第三題這種。換言之，選手不會優先考慮使用微積分或大學分析的手法，而是會先從算幾不等式、柯西不等式…等中學工具下手。

就算選手決定試一下微積分，把原來的不等式一次微分下去後，也會發現中間有一大堆不連續點（就是前面圖上的區間端點），你第一直覺當然是「微積分果然行不通阿」，然後回去試其他工具，誰還會進一步去試二次微分…

再者，就算去做了一次微分接著二次微分，你還要想到不是去對 x_i微，而是去對平移量 t 微…

必須要說，數學競賽跟數學研究畢竟是不一樣的。就像考試一樣，你不會預期老師出一道很超出時間需求或考試範圍的題目，所以當你用某個工具做下去，發現終點遠到看不到，或是前面的路醜到不行，你第一直覺就會覺得工具用錯了而停止繼續探索這條路。

這在數學研究上不會發生，因為數學研究沒有「出題者」，不會預期「存在一個可以在考試範圍和時間內做完的解答」。在這個狀況下，你就比較容易去走上這條解答道路，因為可能真的就是得這樣走。

作者簡介

高竹嵐－現職交通大學統計所助理教授，台灣合唱、阿卡貝拉與音樂劇作曲家、桌遊測試師與設計師、桌遊代理商新天鵝堡特約翻譯。參與作品有厄夜魔堡、調香師、數感傳奇、時光當鋪、醫藥先鋒...等。