［國際數學奧林匹亞］比滿分金牌還難達成的隱藏成就

張貼日期：Sep 17, 2020 6:52:38 AM

國際數學奧林匹亞（簡稱IMO）共有以下幾個常設獎項：

l 金牌：分數在全部選手中排名前 1/12。

l 銀牌：分數在全部選手中排名前 3/12。

l 銅牌：分數在全部選手中排名前 6/12。

l 榮譽獎：沒拿到任何獎牌，且有至少一題滿分。

但其實除了以上獎項外，還有兩個［隱藏成就］可以拿。其一是所謂的［滿分金牌］，也就是拿到當屆的全部 42 分。這一般每年都只有個位數的選手拿到，如之前《1988年的數奧傳奇》中，1988 年就只有 5 位選手拿到滿分：

1988年的選手排名

［滿分金牌］已經夠難拿了，台灣目前為止也只有四名選手拿過。但在這個之外，還有一個難上加難的隱藏獎項［特別獎］，全球最後一次有人拿到是 2005 年，之後就再也沒有人拿過了！

究竟是什麼獎這麼難拿呢？讓我們來看看 IMO 規章第 5.7 條（中譯版）：

5.7 對於特別優異精湛的解答，得經由裁判長推薦給領隊大會，由領隊大會頒發該選手特別獎。

換言之，你不只要先在很有限的時間內答對該題，而且答題的方法還要讓過半數的領隊認為「WOW這個解法也太帥了吧」！打個比方，大概就像在烹飪實境秀《廚神當道》裡面被給了一個超級無敵難的食材，結果不但成功煮出來還要讓評審下巴掉到地上的概念。

以下就用 2005 年的特別獎來說明，要做到這件事情到底有多簡單（咦？）

2005 第三題

最後一位獲得特別獎的選手是摩爾多瓦的 Boreico Iurie。他靠著第三題的解答獲得特別獎，該題是一個代數類別的不等式題目，中譯版如下：

2005 問題三：若 x, y 與 z 為滿足 xyz ≥１的正實數，試證明

是不是看起來亂可怕一把的？的確是很可怕，那個分母的五次方是什麼鬼啊？分子還有負號？

官方解答也是亂可怕一把的，透過蠻多步驟湊係數與柯西不等式。

但 Boreico Iurie 只用三招就解決了這一題！請看他的解法：

第一招：

第一個等號就單純通分整理，最後大於等於零是因為每一項都不是負數。

然後把 (x, y, z) 換成 (y, z, x) 或 (z, x, y) 當然也會得到類似結論的另兩種版本。

第二招：根據排序不等式，我們有 x² +y² +z² ≥ xy + xz + yz。

第三招：所以如果把第一招的三種版本加起來，我們就有：

我證完了！漂亮吧！

※ ※ ※

特別獎在早些年代比較常頒發，近年來隨著比賽題目的演進，以及命題委員和協調員的規模越來越龐大，考生已經很難給出所有人都沒有想過的新解法。然而今年由於疫情關係，賽事有大幅度的改動，變成各國同步遠端比賽。這是否會為特別獎的再次出現帶來一線曙光？就請大家密切關注9/20-9/28的2020國際數學奧林匹亞賽事。

作者簡介

高竹嵐－現職交通大學統計所助理教授，台灣合唱、阿卡貝拉與音樂劇作曲家、桌遊測試師與設計師、桌遊代理商新天鵝堡特約翻譯。參與作品有厄夜魔堡、調香師、數感傳奇、時光當鋪、醫藥先鋒...等。