張貼日期：Jul 23, 2017 4:36:51 PM

作者：張飛黃 副教授（國立臺灣師範大學）

在 0 的小數點之後加無窮多個 9 是否等於 1 呢？

筆者總是在隔一段時間就會看到或聽到這樣子的論戰，總是有人堅持等號是不成立的，或者有人推論等號成立的理由似是而非。筆者在無窮大與零之間的戰爭這篇，首先就來談論這個問題，並且不打算用級數收斂這類高深的數學來加深數學對社會普羅大眾的摧殘；接下來，我們將會談論一些有關無窮的事情，先使讀者都對「

」所代表的意義有共同的認知，然後再來從這個意義中推論它是否就是 1 這個數字！

在 0 的小數點之後有無窮多位的 9 ，數學上記為「 」。因此，原始的問題寫成數學式，即為

什麼是無窮多位的小數？

想像一下從一張 A4 紙上開始寫「 0.999...9... 」然後再接續寫 9 到下一張紙直到其堆疊至台北 101大樓的高度，但寫了這麼多個 9，仍然還不是無窮多個！

無窮（infinity），是一種很美麗虛無的想像。

古裝劇中臣子晉見帝王時，總會有這麼一句口白「 吾皇，萬歲~ 萬歲~ 萬萬歲!」亦或是「祝大王，萬壽無疆!」，都是在說希望能夠長生不老，永遠不會死去。生命沒有盡頭，其實就有無窮的意思，帝王總是希望能夠一直統治天下，千秋萬世，不過，這世界上哪裡有長生不死的人呢。

古人除了對「生命」有無窮盡的乞求之外，對於「遺憾」也有無窮的想望。唐朝詩人白居易的長恨歌相當經典，其中「天長地久有時盡，此恨綿綿無絕期」兩句話更是耳熟能詳，這是在描述唐玄宗與楊貴妃面對愛情的羈絆，遭逢生離死別之際，白居易竟然只用幾個字就將兩人間無窮無盡的相思悔恨表現出來。

人世間，真有什麼事物是無窮的嗎？

被譽為上個世紀最偉大的天才科學家愛因斯坦有許多名言，對於無窮（infinity），他的看法實在是非常有意思，「只有兩種東西是無窮的: 宇宙的大小和人類的愚蠢；不過，前者我還不確定。」

一般來說，我們可以清楚地理解任何有限多位的小數，例如：在小數點之後加三個 9，「0.999」我們可以確定這個符號將代表一個數字，而且這個數字不等於 1，甚至，如果你想要的話，也可以說得更清楚一點，「0.999」這個數字與 1 相差為 0.001，相差是比較代數上的說法，從幾何觀點來看，也可以說是距離。但是，在零之後加任意有限多位的 9 ，其與 1 這個數字的距離皆不為零的事實，可以延伸推論到無窮多位嗎？

無窮這個概念非常有趣且令人好奇。

在很小的時候，我們總是喜歡玩一個遊戲，比誰講出來的數字大！然後講著講著就搶著先說「無窮大」，但其實一般來說無窮大只是用符號「

」來傳達一個無窮的概念，並不是真實存在的一個數字，因為它比任何一個說得出來的數字大。

並非真實存在的一個數字。

我們對無窮多位小數的認識，大都從 1/3 這個數字的小數表示法開始的，1 除以 3 除不盡，得到 0.3333333... 一直下去，所以「 」這個無窮多位小數所代表的是一個真實的數字，可以形成大家共同的認知。當然，否認 1/3 這個數字的存在也是哲學上可以執行的，反正可以解釋成生活上從沒真正用到過，那麼對於這樣的說法「

對於存在的數字可以進行加法運算，然後我們是否也會同意

這樣的表示呢？如果是的話，您大概也就會同意

，因此，我們就達成

的共同認知了！

有限與無窮的差距有時真違反直覺啊！在零之後加任意有限多位的 9 皆不等於 1，並沒有保證在零之後加無窮多位的 9 不等於 1。

機率等於零是否等於事件不發生？

這個問題又為何跟無窮大與零的戰爭有關係，且聽我慢慢道來。

首先，在樣本數為有限的情形下，事件發生的機率算法是一個比值 ｜事件數｜／｜樣本數｜，這概念將使得在樣本數為有限的情形下，機率等於零就是等同於事件不發生！

可是重點來了，當樣本數為無窮大時，我們仍然希望機率的概念得以延伸，此時，機率等於零就不一定代表事件不會發生。

上述三個有趣的問題都有無窮大和零糾纏不清的交錯身影。有耐心讀到此處的讀者應該都清楚「1+2+3+... + n + ...」最後會是無窮大，也不會懷疑任意有限多個數字相加的結果是一個數字。

如果無窮多項相加，而且數字越來越接近零呢？

此外，有理數加有理數必定為有理數，任意有限多個有理數相加亦為有理數。

無窮多個有理數相加之後還會保證是有理數嗎？

以最後這一道算式為例， 它的分母是依照奇偶數穿插排列，奇數為正，偶數為負，最後無窮多項相加總合是一個無理數 ln 2。因此，我們看見任意有限多個有理數相加結果為有理數不可過度推論，這件事情在無窮多項時就不一定會成立了。

加法的順序不同也會導致不同的結果

在兩個無窮多項的算式裡，即使每一項都相同但累加的順序不同，最後的結果也可能會不同。例如上述的這道算式，改成先加兩項再減去一項，依此規則持續下去 (1+1/3)-1/2+(1/5+1/7)-1/4+...，其無窮多項的總和是 1.5 倍的 ln2，竟是比原本的算式總和大了不少。

這樣的結果是否完全違反了一般人的經驗法則呢？！

在有限多項的加法裡，不論如何調整順序，其答案是固定不變的，但是這一件事在無窮多項的加法裡是不對的。而我們若要說服社會大眾相信上述之無窮級數和是正確的推論，那麼至少還需要先了解對數函數的微分與泰勒展開式及其收斂半徑...等專業的知識。

無窮大 ╳ 零 =？

在平面上任意一條線的面積是零，可是無窮多條線段的總面積呢？

隨意拿一個邊長為一的正方形，面積很自然就是一；我們也可以把這個正方形想像成無窮多條長度為一的線段組合而成，因此它的面積即是，無窮大 ╳ 0，按此邏輯推演下去可以導出 無窮大 ╳ 0 = 任意數。這也是一場無窮大與零之間的戰爭。

在本文裡，筆者想藉由談論無窮大與零之間的衝突，來引出數學邏輯思考有用與有趣的部分，並在其中置入性行銷。筆者認為身為數學家的一份子有義務想辦法普及數學那些高深不可測的學問。

雖然本文無法嚴謹地論證這些問題，甚至是粗糙地拋出一些陳述，不過筆者認為藉由對話引發思考，才是更為重要的一部分。

我想對於數學入世改變台灣社會大眾對數學的恐懼或厭惡而言，無窮大與零的戰爭可能是小小的戰役而已。過去奉行升學主義之下考試萬萬歲的長期摜壓，讓數學思考這部分像是電視節目中的不雅文字被消了音，徒留計算能力檢定與快速解題技巧背誦的哀號聲不絕於耳，這是我們這輩該努力改變且堅持下去的戰爭。

我們都明白彈奏出貝多芬交響曲的困難，即使不善音律，卻能深深沉醉於美妙樂音之中。期待有一天，大眾也能深深沉醉於美妙的數學證明之中。

} 好的數學證明像是一首詩 ~