【數論】

全壘打的意外驚喜

張貼日期：Apr 07, 2018 10:47:5 AM

作者：陳宏賓 副教授（國立中興大學應用數學系）

前幾天，在好友沈俊嚴教授的臉書看到了一件有趣的事情，關於全壘打和數學。追查下去，發現故事實在太有趣了，不能不趕緊寫下分享給各位讀者。

1974 年 4 月 8 號 (44 年前的今天)，美國職棒大聯盟明星球員漢克阿倫 (Henry Aaron) 擊出個人生涯第 715 隻全壘打，打破了將近四十年無人能破的紀錄，這項紀錄正是棒球名人堂元老級的超級巨星貝比魯斯 (Babe Ruth) 所創下的生涯 714 隻全壘打。由於貝比魯斯設下的障礙在美國人心中根本是神級的，在他 1935 年退休那天，生涯全壘打數排行榜上最接近他的只有 353 隻，還不到貝比魯斯的一半！！！因此，有人能夠挑戰這個障礙，在當時無疑是個最朗朗上口的熱門話題，只要漢克阿倫一站上打擊區，可以想見那個畫面，全美國四億隻眼睛緊盯，不想錯過這歷史性的一刻。這景況大概就像是那時王建民挑戰大聯盟單季 20 勝，全台熱血沸騰看實況轉播那樣吧。破紀錄那一刻開始，幾乎全美國都在說這兩個數字「714 vs 715」。

全部的人都瘋狂時，數學家也不會例外。

在舉國狂歡的當時，卡爾·帕梅朗斯 (Carl Pomerance) 是喬治亞大學的數學教授，專長是數論。他好奇大家嘴巴講不停的這兩個數字是否存在什麼特性? 他本能地先將兩個數字做質因數分解，發現一個有趣的性質：

714×715 = 2×3×5×7×11×13×17

剛好是連續七個最小的質數相乘。如果把 P_k 定為連續 k 個最小的質數相乘，不禁讓人好奇，

P_k 剛好等於連續兩個整數相乘的情況是不是不太尋常呢？

後來，他們把問題丟給電腦計算，結果發現，在 k < 3050 的所有情況下，只有下列五種例子：

P₁ = 1×2,

P₂ = 2×3,

P₃ = 5×6,

P₄ = 14×15,

P₇ = 714×715

換句話說，如果下一個例子存在的話，那會非常大，這兩個連續數字至少要大於 10⁶⁰²¹。

這個數字有多大，一般人可能沒有辦法想像。打個比方好了，根據 EMC 數位世界研究報告，預計 2020 年全球數位資訊總量會達到 2013 年 4.4ZB 的十倍，44ZB 大約是 10²¹ bits (你現在家裡電腦硬碟單位頂多是 TB，1TB 了不起是 10¹² bits 而已)。也就是說，即使之後每年全球資訊量成長十倍，要達到 10⁶⁰²¹也還需要再六千年!!!

猜想 P_k 剛好等於連續兩個整數相乘的情況中，P₇ = 714×715 就是最後一個例子了。

目前這個猜想仍未能解答，有興趣的讀者可以試試看去證明它。由於上述神奇的案例絕無僅有，幾乎也同時宣告這條研究路線劃下了句點。

帕梅朗斯教授在去年為 Youtube 頻道 Numberphile 錄製影片的截圖

話說回頭，在帕梅朗斯發現趣味的隔一天，他隨口問了一位正要去上課的同事

「ㄟ~ 你知道 714 和 715 有什麼有趣的性質嗎?」

他的同事就在課堂上問了同樣的問題，結果有位名叫傑瑞米·喬丹 (Jeremy Jordan) 的大學生發現了不同的意外驚喜。喬丹注意到 714 和 715 有相同的質因數和，意即

2+3+7+17 = 5+11+13

(714 = 2×3×7×17；而715 = 5×11×13)。

後來，把這樣的兩個連續整數稱為「魯斯-阿倫數對」 (Ruth-Aaron pair)。

魯斯-阿倫數對 (如果允許質數重複出現) 的前面幾項是

(5, 6), (8, 9), (15, 16), (77, 78), (125, 126), (714, 715), (948, 949), (1330, 1331)…

意料之外的驚喜

一個大學生意料之外的小觀察，沒想到竟引起了興趣。帕梅朗斯、尼爾森 (Carol Nelson) 和潘奈 (David Penney) 三個人後來將這些有趣的觀察，寫成了論文，投稿到一個趣味數學期刊 (Journal of Recreational Mathematics)。帕梅朗斯本人表示，當時是以玩笑的心態投稿，單純好玩而已。只是，他從沒想到，這篇論文卻是影響他整個數學生涯的起點。

論文中提出了一項懷疑，他們認為魯斯-阿倫數對應該很稀有。用數學的語言就是

魯斯-阿倫數對在正整數中的密度為零(density 0)

過沒多久，帕梅朗斯收到了一封讀者寫來的信。這封信出自一位傳奇數學家艾狄胥 (Paul Erdős) 之手。艾狄胥在信中表示，可以證明魯斯-阿倫數對在正整數中的密度為零這件事，希望去他的學校跟他見面，聊一聊數學。

「我覺得太瘋狂了。當時我只是一個年輕數學菜鳥，寫了篇玩笑性質的文章，然後收到堪稱上個世紀最偉大的數學家之一的艾狄胥教授的信，說要見面討論數學。」

後來，他們就見了面，也很快就寫了論文，發表在數學期刊上。這次會面，對帕梅朗斯的學術生涯造成了極大的影響，他的研究從此受到艾狄胥啟發，一直到 1996 年艾狄胥過世為止，兩人合作的論文數高達 20 篇。

帕梅朗斯去年 (2017年) 還拍了一段影片，專門講這段關於棒球、數論和意外驚喜的有趣往事。

https://www.youtube.com/watch?v=aCq04N9it8U

先別急著關電腦，故事還沒結束。影片的最後提到，在 1995 年的時候，位於亞特蘭大的埃默里大學將頒發榮譽學位給艾狄胥，帕梅朗斯受艾狄胥之邀，前往觀禮順便敘舊。到了現場之後，意料之外的是，誰也沒想到，造成他和艾狄胥倆人相識的契機－大聯盟巨星漢克阿倫，也同時獲邀頒發榮譽學位。他簡直不敢相信這個事情。於是把握時機上前攀談，向漢克阿倫說了這段往事。

「漢克阿倫～你是改變了我數學生涯的人。」

阿倫聽了則是以為他遇到了瘋子。

Numberphile 影片 https://www.youtube.com/watch?v=aCq04N9it8U 中的截圖

帕梅朗斯當然也不忘趁機介紹艾狄胥和漢克阿倫認識，他們坐下來談了一會兒，並留下了合影。有趣的是，帕梅朗斯做出一般球迷會做的要求，他讓漢克阿倫簽名在一顆棒球上，同時，艾狄胥也在上面簽了名字。帕梅朗斯笑著說「漢克阿倫的艾狄胥數也是1，雖然他們沒有合作發表論文，但是他們合作在棒球上簽了名字。」

Numberphile 影片 https://www.youtube.com/watch?v=aCq04N9it8U 中的截圖

帕梅朗斯一直收藏著這顆意義重大的棒球。只是，由於簽名的筆跡退色了，他倆的簽名字跡都已經消失無法用肉眼瞧見。

Numberphile 影片 https://www.youtube.com/watch?v=aCq04N9it8U 中的截圖