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今年3 月，挪威科學與文學院宣布本年度阿貝爾獎由以色列耶路撒冷希伯來大學榮譽教授弗斯滕伯格（Hillel Furstenberg）及美國耶魯大學榮譽教授馬爾古利斯（Gregori Margulis）獲得，表彰兩位教授在機率理論及動態系統應用於群論、組合學及數論做了重大的貢獻。這也貨真價實的反應出科學界重要的獎項不只是表揚在某一個研究領域的成果，而是橫跨許多不同研究領域之間的偉大發現。

機率理論與動態系統一直以來都是數學研究領域的重要分枝，其中跟微分方程、古典力學及生物數學的連結廣泛為人所知。今年兩位阿貝爾獎得主的貢獻則是將機率理論及動態系統以巧妙到讓人驚嘆的方式關聯到群論、組合學及數論。

動態系統中的等差數列應用—弗斯滕伯格

1935 年，出生於德國柏林的弗斯滕伯格來自於猶太家庭，成長過程中遭遇了二戰的不幸，逃亡到美國的途中父親不幸去世，他跟著母親與姊姊生活在紐約的一個小社區。而弗斯滕伯格也在那裡開始展現他的數學天份。1955 年，弗斯滕伯格畢業獲得學士與碩士學位，年僅20歲的他在畢業前也已經發表了數篇數學專業論文，其中一篇則是重新證明了質數的個數有無窮多個。隨後，弗斯滕伯格前往數學研究的聖殿普林斯頓大學（Princeton University）攻讀博士學位。他的博士論文展現了無比的原創能力，開啟他在數學研究上的領先地位。博士畢業之後，弗斯滕伯格在明尼蘇達大學教書，直到1965 年他離開美國回到以色列耶路撒冷希伯來大學工作，直到2003 年退休。

弗斯滕伯格最為人所知的重要結果之一是用動態系統的方法解2012 年阿貝爾獎得主塞邁雷迪（Endre Szemeredi）著名的等差數列問題，給了一道非常美妙的證明。等差數列問題一直是數論及組合領域非常重要的研究主題，著名的塞邁雷迪定理敘述［任何一個在整數裡有正密度的集合包含了任意長度的等差數列。］

舉例來說， 如果集合 A={1,3,4,7}， 那麼這集合 A 在 {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} 這集合裡面的密度是 4/10（A 的個數除上整個集合的個數）。因此，這集合 A 的密度大於零，除此之外，A 集合裡有長度為三的等差數列，此等差數列為1, 4, 7。然而，現在知道這集合 A 有等差數列是因為已知 A 裡有哪些數字。

著名的塞邁雷迪定理說只需要知道 A 有正的密度，那麼 A 就存在任意長度的等差數列。

問題的困難點是只知道集合 A 的密度，但是沒有任何資訊關於 A 有哪些數字。直覺上，密度越大的集合代表包含著較多的數字，而密度越小的集合代表包含較少的數字，因此較不容易找到想要的某種性質（此處是等差數列）。然而，驚人的塞邁雷迪定理告訴人們不管密度有多小，總是會找到非常長的等差數列在這集合中。事實上，要多長的等差數列就有多長。

或許，塞邁雷迪定理本身並沒有實際應用在世界上，然而就數學發展而言，這是一個非常了不起的發現，因為定理的敘述是如此簡單但證明卻是相當困難。除此之外，很多時候為了解決這些困難的問題，背後所發展出的想法與過程會有意想不到的應用，這也是塞邁雷迪定理著名的原因之一。塞邁雷迪圖規則性引理已經知道有許許多多的實際應用在非常多不同的領域。

試著想像一下有一個圖，是由一些頂點及一些邊所組成的，假設此圖有一億個頂點，那麼最多可以畫幾個邊卻沒有任何三個邊可以組成一個三角形？這是一個容易理解但是非常不容易回答的問題，而塞邁雷迪圖規則性引理就是在建構圖的重要性質。

遍歷理論的威力

弗斯滕伯格許多重要的工作都和遍歷理論（Ergodic theory）有關，它是在研究一個系統長時間下的平均行為。

簡單來說，人們處在一個空間稱為 X，在這空間裡有一個轉換 T，也就是說如果有一個點 a 在這空間中, 那麼 T 把 a 這個點送到這空間中的另一個點 b，就可以繼續使用 T 把點 b 送到另一個點 c。如此一直下去，很自然的就可以探討:

在長時間之後一開始的點 a 最後被送到哪裡了？

在沒有更進一步的資訊之下當然沒有任何線索可以知道最後這點被送到哪裡去，但是弗斯滕伯格的工作告訴人們，如果知道一些對於空間 X 及轉換 T 額外的條件，則可以知道在長時間之後點 a 的行為。確切來說，弗斯滕伯格定理闡述的是關於一堆點的行為:

只要初始的點集合Ｅ的密度是正的，那麼任意時間之後這集合 E 跟被轉換之後的所有集合都會有交集。

弗斯滕伯格發現這偉大的定理之後，上述的塞邁雷迪等差數列定理就是囊中物了，因為假設人們所處的空間 X 就是所有的整數，那麼集合 E 就是一開始給的一個正密度的集合。因此，只要建立一個合適的轉換 T，那麼弗斯滕伯格的遍歷理論就立刻得到任意長度的等差數列。

解開歐本海默猜想—馬爾古利斯

1946 年出生於莫斯科的馬爾古利斯，年少時期就已經開始展露在數學上的天份。他在16 歲獲得國際數學奧林匹亞競賽銀牌獎，並於1970 年獲得博士學位。順帶一提，他的指導教授西奈（Yakov Sinai）也是2014 年阿貝爾獎得主。不僅如此，在取得博士學位的8 年（1978）後，他獲得數學界的費爾茲獎（Fields Medal）。馬爾古利斯涉及的研究領域非常廣泛，並且在研究問題上總是能給出非常不同的想法。而這些想法不僅僅解決了原本的問題，也帶動了後續相關問題的發展。

1984 年，他解決了著名的歐本海默猜想（Oppenheim conjecture）， 一道數學難題由英國數學家歐本海默（Robert Oppenheimer） 於1929 年所提出。簡單來說，歐本海默研究某一類的二次齊次多項式，例如兩個變數的二次齊次多項式：3x² –4xy+7y² 。同樣的，也可以探討三個變數的二次齊次多項式，例如：5x² +2xy-6yz+y² +z² 。

依此類推，一樣也有n 個變數的二次齊次多項式。隨著變數的增加，這些多項式的行為就越難了解與掌握。而歐本海默的研究這些多項式在整數點上的行為，也就是給了一個多變數的二次齊次多項式，這些變數如果都限制在整數上，那麼多項式的值可以有多少個。這問題跟數論領域當然息息相關，例如：當考慮下列特殊四個變數的二次齊次多項式，Q（x,y,z,w）=x² +y² +z² +w² 。當我們考慮所有的變數 x,y,z,w 都是整數時候，Q（x,y,z,w）的值怎麼分布？

有些讀者或許已經聯想到這多項式其實對應到著名的拉格朗日四平方和定理（Lagrange's four-square theorem）:

任意一個正整數皆可以表示成四個整數的平方相加。

也就是說，給一個正整數 A，那麼一定存在四個整數 x、y、z、w 使得說 x² +y² +z² +w² =A。

回到歐本海默的問題，如果考慮更多變數的二次齊次多項式，那麼是否會有類似的結果？歐本海默猜測在扣除一些特殊的二次齊次多項式之後，大部分的二次齊次多項式的值會非常密集的分布在實數線上。歐本海默的猜測就這麼被擱置著，中間經過些許進展，直到最後馬爾古利斯神來一筆將此問題連結到動態系統才完全解決了歐本海默的猜想。

他的想法則是將歐本海默的問題考慮成在某個空間上的軌跡（orbit）問題，因此，動態系統就扮演著最後的主角。馬爾古利斯考慮的空間是由行列式值不等於零的 n乘n 矩陣空間。給一個 n 個變數的二次齊次多項式，馬爾古利斯可以造出一個在此空間上的特殊群運算（group action），接下來在空間上取一個點 z，並考慮此運算作用在 z 點上的軌跡。透過研究這個運算軌跡，解出歐本海默猜想。

馬爾古利斯的貢獻不僅僅只是解決了這個問題，更重要的是馬爾古利斯應用動態系統的想法創造全新的研究領域，也帶動了後續許多的數學發展。種種貢獻也讓馬爾古利斯在 2001 當選美國國家科學學院（United States National Academy of Sciences, NAS）院士及於 2005 獲得沃爾夫獎（Wolf Prize）。

奠定數學發展的先驅

做研究的過程就好比開在一條筆直且看不到盡頭的路上，並不能確定什麼時候可以停下來，也不確定有沒有機會開到終點。然而，弗斯滕伯格和馬爾古利斯的貢獻不僅僅豐富了數學研究的多樣化，同時也開闢許多筆直且看不到盡頭的研究道路給後續的數學家。他們的研究讓數學的美發揮到淋漓盡致，獲得阿貝爾獎實屬當之無愧。