張貼日期：Jul 03, 2019 9:58:39 AM
作者：陳宏賓 副教授（國立中興大學應用數學系）
圖片擷取自美劇 The Big Bang Theory 第 73 集
數學的世界和現實世界或許有不小落差，不過數學研究的取材來源可以非常跳 tone，之前和讀者分享過一則關於數學家帕梅朗斯，研究打破全壘打紀錄 714 衍生出來的故事，就是一個例子。帕梅朗斯的數學研究發現最近又有一個值得和讀者分享的有趣故事。
謝爾頓 (Sheldon Cooper) 是美劇《生活大爆炸》裡面的角色，身分是一位物理學家，這部影集的故事是圍繞著4位理工科天才的生活和工作展開，謝爾頓是其中一位。他在第 73 集說「73 is the best number!」。看到這裡，你可能跟我一樣很好奇，為什麼是 73 ?
謝爾頓解釋「因為 73 是質數，而且是第 21 個質數，21 剛好是 7 乘 3；把數字順序反過來看，37 是第 12 個質數，12 剛好是 21 反過來看」。
這段影集中的小插曲意外地引起了數學家的興趣，因此得到了數學上的新發現，還發表了論文專門研究這種謝爾頓質數。
首先，從謝爾頓對於「最棒數字的解釋」可以看到兩件事:
［乘法性質］73 是第 21 個質數，21 = 7x3
［鏡像性質］37 是第 12 個質數，12 和 21 對稱，如同 37 和 73 也對稱。
Jessie Byrnes, Chris Spicer 和 Alyssa Turnquist 三位數學家在 2015 年率先研究這個趣味現象，合理懷疑他們有在追劇XD，為了考慮這兩性質的普遍性(在一般數字的情況)，將上述兩個性質更嚴謹的定義如下:
［乘法性質］令 pn 是第 n 個質數，n = pn 的每個位數之乘積(以10進位數字表示)
［鏡像性質］令函數 rev(n) =把 n 的數字順序反過來寫的那個數，rev(pn) = prev(n)
謝爾頓猜想
他們很自然提出疑問，還有沒有其他數字也滿足這兩個性質呢? 所謂的謝爾頓猜想 (Sheldon Conjecture) 即是:
73 是同時滿足這乘法性質和鏡像性質的唯一數字。
這個猜想在 2019 年初被之前在《全壘打的意外驚喜》介紹過的數論學家帕梅朗斯 (Carl Pomerance) 和 2015 年論文作者之一的 Chris Spicer 聯手克服了。73 這傢伙真的是唯一的存在。證明方法並不那麼簡單，需要利用一些高等數論技巧，他們將可能符合這兩項性質的數字的可能性減少，論文中他們先初步排除大數字(超過 45 位數以上都不可能滿足乘法性質)，接著再想辦法從鏡像性質和乘法性質檢查剩下的有限個數字，基本上只要理解到僅需處理有限多個麻煩(即使是所有小於 45 位數的數字)，剩下要面對的問題就是相對簡單的驗證了。
如同許多數學研究主題的歷史發展一樣，一個問題獲得解答的同時也經常會帶出更多的問題。
▎比方說只考慮乘法性質，目前都是在10進位前提下進行，如果換成其他進位表示法，例如226697是第20160個質數，226697的9進位表示法(以下標9代表)為 3748659，把每一位數的數字乘起來得到 3x7x4x8x6x5 = 20160，數學家好奇「在其他進位表示下什麼樣的數字會滿足乘法性質呢?」
▎符合鏡像性質的數字有多少個呢? 作者在論文中猜測應該有無限多個，而且大部分是所謂的迴文質數 (palindromic prime)，也就是順序反過來看也是長一樣的質數，例如 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131…，前五個很明顯符合鏡像性質的要求，因為它們分別是第1到第5個質數，個位數自然有鏡像對稱，但 101 和 131 是第 26 和第 32 個質數很顯然都不符合鏡像性質。論文中給了一個較大的迴文質數且滿足鏡像性質的例子是 143787341 = p8114118。第 8114118 個質數是 143787341，兩個數字都是迴文，明顯符合鏡像性質因為照鏡子就是看到自己。
來自美劇的數學研究故事就先到此告一段落，不過，我想故事應該不會因為謝爾頓猜想的解決而畫下句點。
數學研究是不是很生活化呢? 不說了，我要去打開電視看看今天有沒有數學研究題目可以取材…
參考資料
Jessie Byrnes, Chris Spicer and Alyssa Turnquist, The Sheldon Conjecture, Math Horizons 23, 2015.
Carl Pomerance and Chris Spicer, Proof of the Sheldon conjecture, 2019.
［數論］全壘打的意外驚喜，陳宏賓，UniMath