張貼日期：Feb 03, 2020 1:27:14 PM

什麼是迴文？光只有正反「讀」起來一樣可不算，因為同音字，有人下賭注經常會說輸了名字倒過來寫，這時候名字取得好就不怕輸，例如韓寒、宣萱、方芳、方芳芳…。迴文就是從左至右和從右至左「看」起來都一樣才行。例如二位數的 11, 22, 33, …, 99 都是迴文數。

昨天在臉書上看到許多朋友分享 2020/02/02 是有趣的「迴文日」，本世紀只有 12 天，即使擴大到從 0001 年開始也僅有 81 個迴文日，算是相當罕見。這是基於我們慣用的(年/月/日)表示法，常見的用法還有表示成(日/月/年)，這時候 20/02/2002 也是迴文日。所以不同的表示法有不同的迴文日。

不過美國老大就是要跟人家不一樣，上述兩種表示法一個是從大到小，一個是小到大，而美國採取的是(月/日/年)。新聞報導說美國網友昨天很嗨，因為如果要同時滿足上述三種日期表示法（美國慣用的表示法和其他表示法），那麼昨天 02/02/2020 就不再只是罕見可以形容，川普大大的女兒伊凡卡在推特發文祝大家迴文日快樂，提到這是九百多年來難得一見的特別日子(上一次是11/11/1111)，而下一次就要等到一百年後的12/12/2121。

BBC NEWS更是以「全世界的宅宅都在慶祝02/02/2020」下標題，真狠，還好我們昨天沒有慶祝(這是什麼鴕鳥心態XD)

好啦，認真一點接下來我們談談數學上關於迴文數的研究。首先，迴文數是不是無窮多個？很顯然，是的。輕易的你就可以給一種製造無窮多個迴文數的方法，比方說頭尾寫 1 中間都寫 0，這樣要有幾個迴文數就有幾個。

在 2004 年有學者證明，幾乎所有迴文數都是合成數，也就是除了 1 和本身之外還有其他的正因數。

當然，除了十進位表示法之外，我們也可以討論其他ｇ進位。以 g=2 為例，很明顯只要是梅森質數 (Mersenne prime) 2ⁿ -1 就是一種二進位的迴文數，因為每一個位值都是 1。在 2008 年Luca 和 Togbe 更進一步證明：

對任意n (正整數)，10ⁿ ±1寫成二進位都是迴文數。

既然提到質數，那麼有沒有一個數既是迴文數也是質數呢？答案是有的。

迴文質數

顧名思義就是指同時是迴文數又是質數的數。

例如，2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929, 10301, 10501, 10601, 11311, 11411, 12421, 12721, 12821, 13331, 13831, 13931, 14341, 14741, 15451, 15551, 16061, 16361, 16561, 16661, 17471, 17971, 18181…… (有興趣請參考OEIS A002385)。眼尖的讀者可能會發現，只有 11 是偶數(兩)個數字，這是因為偶數個數字組成的迴文必定會整除 11，因此不滿足質數的要求。

同樣的，我們也會好奇「迴文質數是不是無窮多個呢？」這個問題至今還沒有人知道，如果你能夠解答，相信會是一個引起關注的有趣結果。

迴文數的加性

美國密蘇里大學的威廉班克斯（William Banks）教授最近開啟了迴文數的加性(additive)研究，他在一篇 2015 年的論文中證明了一項關於任意整數寫成一串迴文數相加的性質：

定理[Banks 2015] : 任意正整數都可以寫成最多 49 個迴文數相加(十進位)。

仔細一想這個結果蠻神奇的，畢竟對於任意正整數都要對，沒有一個統一的好方法也不容易論證必定辦得到。然而，令人吃驚的是這道問題的進展來得非常迅速，班克斯的結果很快就被三位學者 Javier Cilleruelo, Florian Luca 和 Lewis Baxter（2017年6月）改進，從 49 大幅下降到 3 個迴文數，而且，對於任意的 g 進位表示法 (g>4) 都辦得到：

定理[Cilleruelo, Florian, Baxter 2017]: 任意正整數都可以寫成最多3個迴文數相加（g＞4進位）。

Lewis Baxter 也將他們三人的結果寫成程式讓人在網頁上玩 (http://www.rnta.eu/cgi-bin/three_palindromes/pal3.py)，以十進位為例，我在 base 輸入 10，number 輸入我的生日 19780730，按下 Find Palindromes 不用三秒就會產生 3 個迴文數相加後會等於 19780730，有興趣的讀者可以自己嚐試。

知名的網紅 James Grime 也在其數學科普頻道 Numberphile 討論這個結果，透過他們高影響力的傳播，很多議題獲得了大量的網友關注，毫不意外地這些網友也包含不少數學家。

也許是這個緣故，僅僅才兩個月後，另外三名研究學者 Aayush Rajasekaran, Jeffrey Shallit 和 Tim Smith (2017年8月)將 CLB 的結果補齊，提出了一套演算法證明缺漏的二、三、四進位的部分。

定理[Rajasekaran, Shallit, Smith 2017]: 任意(ｇ進位)正整數可以寫成最多４個迴文數相加。

Ps. 二進位時，這裡的常數 4 就是最好的。因為有一些數字寫成二進位是沒辦法用少於 4 個迴文數相加的，例如 176。論文中，他們再另外提出一套演算法針對三進位和四進位，都是最多用 3 個迴文數相加。

網路的生態影響世界甚鉅，我想連數學研究也不例外吧。

參考資料

1. Javier Cilleruelo, Florian Luca, and Lewis Baxter, EVERY POSITIVE INTEGER IS A SUM OF THREE PALINDROMES, https://arxiv.org/pdf/1602.06208.pdf

2. Aayush Rajasekaran, Jeffrey Shallit, and Tim Smith, Sums of Palindromes: an Approach via Automata, https://arxiv.org/pdf/1706.10206.pdf