數學超新星

等差數列，例如 {7, 11, 15, 19, 23}，雖然看似簡單，但其蘊含的數學複雜度驚人，當我們考慮整數集合中避免出現等差數列時，無論你多麼努力不讓它們出現，卻常常難以避免，且問題的複雜度隨著想避免的等差數列長度而增加。

最近，三位研究生 James Leng、Ashwin Sah 與 Mehtaab Sawhney 對於避免長度 5 的等差數列的問題進行了深入探討，提出大幅改進的上界估計。這不僅是等差數列理論的一次突破，也對於Szemerédi 定理相關的研究做出重要貢獻。

你可能好奇哪裡來的這麼厲害的研究生？其實他們的事蹟可不只如此。Ashwin Sah 和 Mehtaab Sawhney 2017年在麻省理工認識的時候，兩人還只是大學生。不過，從那時起至今短短 7 年時間，他們已經合作撰寫了57篇數學論文，不只數量驚人，其中有好幾篇論文的結果都是不同領域的重大突破，帶來許多新的研究方向。

今年(2024年2月)，Sah 和 Sawhney 再次聯手，這次與 UCLA 研究生 James Leng 一起，解決了一道長期懸而未決的問題：

『整數集合在多大規模下必定包含等差數列？』

他們的成果突破了當前已知的數學理論，也是數十年來，對組合數學中一個重大未解問題的首次進展。這項研究發表時，三位都還是學生身分。

Erdős-Turán 猜想

回到1936年，兩位來自匈牙利的知名數學家 Paul Erdős 和 Pál Turán 研究等差數列時，提出這樣一個猜想：

【如果一個集合包含了非零比例的正整數，那該集合必包含任意長度的等差數列。】

也就是即使占所有正整數的比例低至0.00000001%，那麼這個集合也必定包含任意長度的等差數列。唯一能避免等差數列的是那些極小的集合，比如 {2, 4, 8,16, 32,…, 2k ,…}，不難驗證這個集合不含任何長度的等差數列，三項你都找不到。這類集合雖然有無窮多項卻稀疏到只佔整數集合「可以忽略不計」的一小部分。

從那時起，這道難題持續困惑了數學家數十年。K. Roth 在1954年首先給這個猜想做出部分進展，他證明在集合 {1,2,…,N} 裡面不包含長度3的等差數列集合密度不可能超過 1/log⁡log ⁡N。(更多關於 Roth 的故事請參考彭俊文博士《平凡的偉大數學家－克勞斯．羅斯(Klaus F. Roth)》以及沈俊嚴教授《高爾斯、格林與陶哲軒率領「傅氏分析」大軍入侵「組合學」－ Roth 定理率先投降》)

直到 40 年後的1975年，才由 Endre Szemerédi 證明了完整的猜想。但故事並沒有到此結束。

就像你在處理一個線團時，可能解開了一個結，但隨之而來的是更多的線頭冒出，需要進一步整理。同樣地，解決一個數學問題後，往往會引發更多的相關問題，或發現新的挑戰。

讓我們將問題限制到有限範圍內的數字集合：給定 1 到 N 之間的整數，我們能選擇多少比例的數字來避免某種長度的等差數列？

證據顯示，隨著 N 的增大，這個比例會越來越小。

舉個例子，當 N=20 時，你可以選 16 個數（80%）來避免長度為 5 的等差數列。但當 N 是 100萬時，選擇任意80萬個數（80%）就無法避免了。Szemerédi 證明，隨著 N 的增長，這個比例最終會趨於零，不過他並沒有給出這個比例是以什麼樣的速度收斂到零。此後，精確量化這一比例變化的速度就成了此一領域最核心的目標。

堪稱經典的長度 3 的等差數列問題

長度 3 的等差數列問題最早受到關注，如同前面所說，Roth定理表明集合中如果沒有任何三項的等差數列，這個比例(也就是此集合的密度)以極緩慢的速度 1/log⁡log⁡ N  趨近到零。之後經過許多數學家的不斷改進，包括Heath-Brown, Szemerédi, Bourgain, Sanders, Bloom, 以及 Bloom和Sisask。

去年，兩位資訊科學家 R. Meka 和 Z. Kelley 橫空出世，在長度 3 的等差數列問題上取得大突破，顛覆了數學界的認知。他們的結果指出『集合中如果沒有任何三項的等差數列，這個比例(也就是此集合的密度)以指數函數的速度趨近到零。』

這是第一次有人證明密度收斂到零的速度是指數級的。(更多有趣故事請參考沈俊嚴教授《等差數列，你在嗎》)

然而，當涉及四項或更多項的等差數列時，問題變得更加困難。原因在於，等差數列隱含著更深的數學結構。三項等差數列的數字滿足簡單方程式 x – 2y + z = 0，但四項等差數列則需滿足更複雜的 x² – 3y² + 3z² – w² = 0。隨著數列項數增多，方程式變得越來越複雜，意味著包含這些序列的集合展現出更加隱晦的數學模式，以至於數學家們難以證明這些模式的存在。

四項以上的等差數列呢?

1990 年代末，數學家 Timothy Gowers 開發了一套理論來處理這種複雜情況，並於2001 年改進了避免等差數列集合的上界，創下的記錄直到今年才被打破。相關工作也為 Gowers 贏得了 1998 年的菲爾茲獎，數學界的最高榮譽之一。

2022年，UCLA研究生James Leng 開始研究 Gowers 的理論，原本他只想解決一個技術性問題，沒想到這最終成為了推進 Szemerédi 定理的關鍵。Sah 和 Sawhney 聽說了他的研究後，對此大為驚訝，三位年輕數學家於是展開合作，擬定運用密度增量策略，以高階傅立葉分析作為工具來分析那些不包含五項等差數列的集合，結合 Borh 集和 nilsequence 等進階數學概念，最終成功突破了五項等差數列問題。他們主要結果指出，不包含長度 5 的等差數列集合密度的上界為

隨後，他們將結果擴展到任意長度的等差數列。這是自 Gowers 給出避免任意長度等差數列的密度估計 23 年以來的首次突破，期間僅有Green和陶哲軒針對長度4做出改進。Gowers 曾證明，隨著集合中的數字範圍擴大，避免等差數列的集合密度變小的速度遵循一個緩慢的對數級速率。Leng、Sah 和 Sawhney 則證明了這個速度其實是以指數規模縮小。

不僅是成果耀眼，三人使用的方法也讓相關領域的數學家感到興奮。為了達到目標，他們首先加強了由牛津大學的 Ben Green、UCLA 的陶哲軒和希伯來大學的 Tamar Ziegler 提出的一個較早的技術性結果。而包含 Green 在內的數學家們認為，此一結果視為 Gowers 理論的一種擴展似乎還有進一步改進的潛力，開啟了在等差數列結構上更深入探究的可能性。

完成證明後，Sah 和 Sawhney 雖然已經畢業，但他們的合作並沒有停止。未來相信他們必定能帶給數學界更多驚喜。