張貼日期：Feb 23, 2015 3:13:51 PM
作者：陳宏賓 副教授（國立中興大學應用數學系）
2013 年全球數學界最轟動的事件，肯定是華裔數學家張益唐劈開擋在百年數學難題「孿生質數猜想」前面的巨石。所謂質數，是指不能被分解成其他正整數（除了 1 和本身）相乘。沿著數線一直往前走，質數的出現會越來越稀有，但即使如此，張益唐證明「即使走得再遠，還是會找到相鄰的兩個質數，它們的間隔在7千萬之內」，7千萬就是這顆巨石，過去從來沒有數學家能夠證明是不是有這樣一個 有限 的數字 存在，這是張益唐一鳴驚人的成就，聽完他的故事我保證你會跟我一樣大吃三驚（食量大的人可以再多吃一點）。然而，「孿生質數猜想」中的這個數字是 2，離 70000000非常遙遠，但在張劈開大石之後，一群數學家瘋狂投入研究，目前這個數字已經大幅下降到 246。
關於質數的間隔，現在數學家又有重大進展，不過這次，問題反過來了:
在一個有限數字 X 之前，質數間隔可以有多大呢?
去年八月，有兩組數學家團隊同時公開他們的論文AB，宣稱證明了保羅艾狄胥 Paul Erdős（1913.3.26～1996.9.20）所提出關於質數間隔的猜想。不久，兩個團隊決定一起合作，將他們的結果做更進一步的強化。目前，新的論文已經在 2014 年 12 月中公開。
保羅艾狄胥和他的猜想
艾狄胥是 20 世紀論文產量最多的數學家之一，超過 500 個數學家曾經和他合作，一生所發表的論文數量高達 1525 篇。艾狄胥的傳奇人生讓許多數學家相當感念，也因此發展出一個有趣的艾狄胥數（Erdős Number），相對於知名的六度空間理論「人與人之間只相隔 6 個人連繫」，艾狄胥數正是計算數學論文作者與艾狄胥的合作距離有多遠，艾狄胥自己是 0，有和他一起合作發表過論文的數學家的艾狄胥數是 1，筆者的艾狄胥數是 3。艾狄胥一生解決的數學問題很多，提出的數學難題也多，每個難題還懸賞一筆小額獎金，作為鼓勵，大多問題的獎金落在 25 美金左右，這個關於質數間隔難題的獎金卻是高達 10000 美金，是艾狄胥懸賞問題中獎金最高的，這問題的難度由此可見一斑。艾狄胥的猜想是要從另一個數學家 Rankin 的貢獻說起。
1938 年蘇格蘭數學家 Robert Alexander Rankin 證明了: 只要 X 足夠大，那麼在 X 之前的最大相鄰質數間隔至少有…..這～～麼～～大！（筆者OS: WTF這個數學式子就像一段優美的旋律阿！）
其實，許多關於數論的式子都是長這個樣子的，由很多 log 組成。有一個在數論學者之間廣為流傳的笑話，華裔數學家陶哲軒（第一個團隊其中之一作者）說: 數論學家快淹死前的最後一句話是甚麼? logloglogloglog…（溺水發出的聲音XD）
雖然 Rankin 的結果看起來很好笑，也有很多人都認為應該不用多久就會被徹底改進了吧，但事實卻是這個奇怪的式子撐了 76 年之久。很多數學家相信真正的答案比 Rankin 的式子大很多，是 (log X)2 這個量的常數倍，第一個提出這個猜想的是瑞典數學家 Harald Cramér，在 1936 年的時候，時至今日，這個猜想仍是遙不可及。
艾狄胥提出了一個比較保守的猜想:
Rankin 式子中的 1/3 可以換成一個任意大的數字，前提是 X 足夠大的話。
不難看出，這個猜測的強度介在 Rankin 的結果和 Cramér 的猜測之間。
用高中數學破解數論難題
這兩個團隊給出的證明都是利用一個簡單的想法 － 構造連續的非質數，越長越好。比方說，把 2，3，4，…，101這總共 100 個數乘在一起（用101! 表示之），很明顯可以看出 101! 被2，3，4，…，101整除，因此，可以進一步看出 101!+2 被 2 整除 、101!+3 被 3 整除 、…等等，所以101!+2～101!+100 這 100 個連續的數字都不是質數。也就是說，當 X=101!+100 時，最大相鄰質數間隔至少是 101。牛津大學年輕博士 James Maynard（第二個團隊作者）說: 目前所有研究最大相鄰質數間隔的論文，都是利用這個高中數學程度的建構概念，再輔以一點點其他數學工具和技巧。（OS: 就像天龍八部裡喬峰用一套人人都會的基本功太祖長拳大敗聚賢莊眾多武林人士一樣道理，高中數學在高手手中，也能用來斬妖屠魔阿。）
英雄惜英雄
智商 230，被譽為天才中的天才，陶哲軒從小就展現非常高人一等的數學天份，8 歲 SAT 數學考 760 分（滿分 800），9 歲讀大學數學課程，11～13 歲分別拿到國際奧林匹克數學競賽銅牌、銀牌、金牌（至今仍是奪得三面獎牌最年輕的選手），14 歲加入澳洲科學研究機構，15 歲發表論文，16 歲擁有碩士學位，21 歲普林斯頓博士畢業進入美國 UCLA 任教，24 歲成為 UCLA 史上最年輕的數學教授，31 歲獲得素有數學界諾貝爾獎之稱的菲爾茲獎，不只是澳洲史上第一人，也是 UCLA 史上第一人。然而，得到數學界大大小小殊榮的陶哲軒，在此之前，從未解開過艾狄胥懸賞的難題。
解開艾狄胥懸賞 10000 美金難題，陶哲軒回憶起小時候十歲那年和艾狄胥在澳洲的一段數學邂逅（上圖為陶哲軒珍藏的照片），「他把十歲的我視為一般數學家那樣地討論數學」。在艾狄胥這麼一個世界知名的大數學家面前，即使是數學神童，也未必能夠和他談上兩句，而艾狄胥卻和他認真的談起數學來，如今想來，也頗有英雄惜英雄的氣氛。也難怪破解艾狄胥數學難題的他受訪時興奮地直說，「好酷!!」。而陶哲軒也將贏來的 10000 美金繼續懸賞，給下一位在這個問題有突破性進展的學者。