張貼日期：Jan 21, 2016 3:26:1 PM
作者：陳宏賓 副教授（國立中興大學應用數學系）
Prime 經常可以用來形容最重要的或者最高等級的。本人最愛吃的牛肉依照美國農業部的分類，極佳級（U.S. Prime），特選級（U.S. Choice），可選級（U.S. Select），合格級（U.S. Standard），商用級（U.S. Commercial），可用級（U.S. Utility），切塊級（U.S. Cutter）及製罐級（U.S. Canner），這八大等級來看的話，Prime就是最高等級的牛肉。一想到這，口水就忍不住快要流下來。
好了，今天關於 prime 的故事要開始囉~
長久以來，數學家對於質數的研究不曾少過，但質數還是非常神秘，解開質數之謎可以算是數學界最重要的工作之一，不少知名的重要猜想都和質數有關：
像是前兩年令華人數學家張益唐聲名大噪的孿生質數猜想［延伸閱讀：繼張益唐縮小相鄰質數的間隔之後，天才數學家陶哲軒讓它變大了!］，以及美國克雷數學研究所懸賞 1,000,000 美金的的黎曼猜想 (和質數的分佈有關)。
從數學上來說，質數 (prime number) 就是具備除了1和本身之外無法被其它正整數整除的數。例如：2, 3, 5, 7, 11,..., 如此下去可以一直往後找到新的質數，沒完沒了。但是，越往後走下去，質數就會越來越稀有。
在今年以前，質數的最大紀錄保持者是在 2013 年由 Great Internet Mersenne Prime Search 這個組織公布的
257885161－1
一個高達 17,425,170 位數。17,425,170 位數這個超級數字到底有多大呢？打個比方，假設有一個全世界第一快嘴每秒鐘能夠讀 10 個數字，那麼他不吃不喝不笑不走路把這個數讀一遍，也得花上整整 20 天。
今年 1 月 7 號 GIMPS 發布最新發現的超大質數 274207281－1，更高達 22,33,8,618 位數，比前一個紀錄多了將近 500 萬位數。你可以從此處下載這個數 (10.2MB的壓縮檔)。這是中央密蘇里州立大學的庫柏教授和其他兩位GIMPS成員共同發現的結果，至於這麼大的數要怎麼判定為質數，當然是少不了電腦，這次用 Intel i7-4790 等級的 CPU 還跑了 31 天才搞定。
Marin Mersenne
值得一提的是，這兩個質數都具有同樣的型式：2P－1。具備這種型式的質數有個特別的名稱，叫做 Mersenne Primes 梅森質數。顧名思義，這是為了紀念 17 世紀專門研究這種數的一位法國僧侶 Marin Mersenne，當時他提出了一串數字
2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257
宣稱 P 如果是這幾個數的話，2P－1 都是質數。
天啊！這真的很難以想像，在那個還沒有電腦的年代，居然可以算到 2 的一百次方以上的數字！你知道嗎？如果拿一張紙對摺再對摺一直下去，那麼對摺 42 次時的厚度可以到達月球，51 次時就可以去到太陽，127 次根本已經超過目前已知的宇宙厚度！！！
不過可惜的是，梅森終究還是搞錯了。267 －1 和 2257 －1 後來都被發現並不是質數，只不過前後花了長達 300 年的時光。其中還有一段讓數學家津津樂道的故事：那是關於 1903 年美國數學家 Frank N. Cole 在美國數學會的研討會中給了一場無聲的演講，演講開始後 Cole 就默默地轉頭在黑板的一邊徒手算出：
267 －1 ＝ 147,573,952,589,676,412,927
然後再去另一邊徒手計算
193,707,721 × 761,838,257,287
最後的結果當然是等於 147,573,952,589,676,412,927。在他計算的過程中，安靜無聲，直到他寫完最後一個數字，突然全場歡聲雷動，掌聲不絕於耳，等到聲音逐漸安靜了下來，Cole 才說出這句經典的話「Finding the factors had taken three years of Sundays.」
Frank N. Cole
話說回來，長這樣的質數其實並不常見，截至目前為止也才 49 個被發現，其中的 16 個是由 GIMPS 找到。同時，GIMPS 也發下豪語，提出高達 150,000 美金（約台幣 500 萬）的獎勵，看誰能先找到超過 100,000,000 位數的超級質數！
你的筆，準備好了嗎？
陳宏賓 － UniMath 主編、逢甲大學應用數學系助理教授。
數學既深且廣，我懂得不多，最喜愛組合數學相關領域，主要研究興趣是群試理論、圖論及最優化分解。2013 年出版「Partitions: Optimality and Clustering, Volume II: Multi-Parameter」一書（與 Uriel Rothblum 和 Frank K. Hwang 教授合著）。對於數學和教育有強烈的熱忱和使命感，積極創立 UniMath 電子數學媒體，致力於推廣數學文化。