張貼日期：Jan 21, 2016 3:26:1 PM

Prime 經常可以用來形容最重要的或者最高等級的。本人最愛吃的牛肉依照美國農業部的分類，極佳級（U.S. Prime），特選級（U.S. Choice），可選級（U.S. Select），合格級（U.S. Standard），商用級（U.S. Commercial），可用級（U.S. Utility），切塊級（U.S. Cutter）及製罐級（U.S. Canner），這八大等級來看的話，Prime就是最高等級的牛肉。一想到這，口水就忍不住快要流下來。

好了，今天關於 prime 的故事要開始囉~

長久以來，數學家對於質數的研究不曾少過，但質數還是非常神秘，解開質數之謎可以算是數學界最重要的工作之一，不少知名的重要猜想都和質數有關：

像是前兩年令華人數學家張益唐聲名大噪的孿生質數猜想［延伸閱讀：繼張益唐縮小相鄰質數的間隔之後，天才數學家陶哲軒讓它變大了!］，以及美國克雷數學研究所懸賞 1,000,000 美金的的黎曼猜想 (和質數的分佈有關)。

從數學上來說，質數 (prime number) 就是具備除了1和本身之外無法被其它正整數整除的數。例如：2, 3, 5, 7, 11,..., 如此下去可以一直往後找到新的質數，沒完沒了。但是，越往後走下去，質數就會越來越稀有。

在今年以前，質數的最大紀錄保持者是在 2013 年由 Great Internet Mersenne Prime Search 這個組織公布的

2^57885161－1

一個高達 17,425,170 位數。17,425,170 位數這個超級數字到底有多大呢？打個比方，假設有一個全世界第一快嘴每秒鐘能夠讀 10 個數字，那麼他不吃不喝不笑不走路把這個數讀一遍，也得花上整整 20 天。

今年 1 月 7 號 GIMPS 發布最新發現的超大質數 2^74207281－1，更高達 22,33,8,618 位數，比前一個紀錄多了將近 500 萬位數。你可以從此處下載這個數 (10.2MB的壓縮檔)。這是中央密蘇里州立大學的庫柏教授和其他兩位GIMPS成員共同發現的結果，至於這麼大的數要怎麼判定為質數，當然是少不了電腦，這次用 Intel i7-4790 等級的 CPU 還跑了 31 天才搞定。

值得一提的是，這兩個質數都具有同樣的型式：2^P－1。具備這種型式的質數有個特別的名稱，叫做 Mersenne Primes 梅森質數。顧名思義，這是為了紀念 17 世紀專門研究這種數的一位法國僧侶 Marin Mersenne，當時他提出了一串數字

2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257

宣稱 P 如果是這幾個數的話，2^P－1 都是質數。

天啊！這真的很難以想像，在那個還沒有電腦的年代，居然可以算到 2 的一百次方以上的數字！你知道嗎？如果拿一張紙對摺再對摺一直下去，那麼對摺 42 次時的厚度可以到達月球，51 次時就可以去到太陽，127 次根本已經超過目前已知的宇宙厚度！！！

不過可惜的是，梅森終究還是搞錯了。2⁶⁷ －1 和 2²⁵⁷ －1 後來都被發現並不是質數，只不過前後花了長達 300 年的時光。其中還有一段讓數學家津津樂道的故事：那是關於 1903 年美國數學家 Frank N. Cole 在美國數學會的研討會中給了一場無聲的演講，演講開始後 Cole 就默默地轉頭在黑板的一邊徒手算出：

2⁶⁷ －1 ＝ 147,573,952,589,676,412,927

然後再去另一邊徒手計算

193,707,721 × 761,838,257,287

最後的結果當然是等於 147,573,952,589,676,412,927。在他計算的過程中，安靜無聲，直到他寫完最後一個數字，突然全場歡聲雷動，掌聲不絕於耳，等到聲音逐漸安靜了下來，Cole 才說出這句經典的話「Finding the factors had taken three years of Sundays.」

話說回來，長這樣的質數其實並不常見，截至目前為止也才 49 個被發現，其中的 16 個是由 GIMPS 找到。同時，GIMPS 也發下豪語，提出高達 150,000 美金（約台幣 500 萬）的獎勵，看誰能先找到超過 100,000,000 位數的超級質數！

你的筆，準備好了嗎？

陳宏賓 － UniMath 主編、逢甲大學應用數學系助理教授。

數學既深且廣，我懂得不多，最喜愛組合數學相關領域，主要研究興趣是群試理論、圖論及最優化分解。2013 年出版「Partitions: Optimality and Clustering, Volume II: Multi-Parameter」一書（與 Uriel Rothblum 和 Frank K. Hwang 教授合著）。對於數學和教育有強烈的熱忱和使命感，積極創立 UniMath 電子數學媒體，致力於推廣數學文化。