UniMath


最新發表

  • TED 青蛙謎題的解答錯了!

          


                                                   
        
                               影片截圖 from TED Talk                         

    TED 教育中有許多有趣的影片,其中還有一個值得思考的謎題系列。 但很不幸的,其中有一個關於青蛙的謎題,他解錯了! 正因為 TED 的影響力很大,所以這個可能是 2016 年中,在數學教育中負面影響最大的事件。



    先簡單說一下謎題內容(詳細請看上方影片 [1]):


                   你在叢林裡面中毒了,只有舔一下母青蛙才能解毒。 但是公青蛙和母青蛙外觀無法分辨,

                   唯一的分別是公青蛙有一種獨特的叫聲而母青蛙不會叫。 你運氣不錯,前面正好有一隻青

                   蛙。當你正要往前去試試你 1/2 的運氣時,聽到後面有一聲公蛙獨特叫聲。你回頭一看,

                   看到兩隻青蛙。因為你中毒頗深,所以兩個方向只能選一個,你要往前還是往後,生還的

                   機會才會較大? 


                   特別說明的是,公青蛙無毒,所以如果你往後走,可以同時舔兩隻。



    當然,依照標準的數學機率題目慣例,你不用考慮什麼自然法則只允許一公一母,兩隻公青蛙在一定會打起來,邊緣人的性別比例,或追二蛙不得一蛙這些事情。 每隻青蛙在機率上都是獨立的。而且公蛙母蛙的機率一樣。

    如果你還沒想過解答,可以先想一下。


    TED 影片中的解答是這樣的 

     F 代表母, M 代表公。那因為我們知道後面的兩隻青蛙中,至少有一隻是公的,所以只有剩下 MM, FM, MF 三種可能性,依照條件機率,後面兩隻中有 F 的機率是 2/3。 所以你應該往後走。


    這個答案,當然在心理上的感覺是很舒服的。 因為頗有三門問題的感覺,又用到了條件機率,外加又有那麼一點反直覺,簡直完美。 而且,兩隻中有母的機率本來是 3/4,因為叫聲扣一點分數,變成 2/3,也非常合理。

    很可惜,像一開始說的,這個答案是錯的。


    解答錯了的理由

    簡單的說,把「聽到一聲公青蛙的叫聲」直接當成「至少有一隻公青蛙」是不對的。當然若「聽到一聲公青蛙的叫聲」則「至少有一隻公青蛙」,但是反過來「至少有一隻公青蛙」就會「聽到一聲公青蛙的叫聲」?


    所以這會需要理由來說明。


    先描述一個比較沒有爭議的情形。假設當青蛙在叫的時候,你正好看到了。

    所以你知道是哪一隻在叫。 這時候,後面兩隻青蛙中,有母青蛙的機率是多少?
            
    很明顯,你剩下一隻青蛙了。 如果你真的很想要舔那隻會叫的青蛙,我們絕對尊重。但你的生命取決於另外一隻的性別。 不管是前面後面,一樣都是一隻青蛙的機會。所以往前往後的生存機率一樣。


    https://www.duckware.com/blog/the-ted-ed-frog-riddle-is-wrong/index.html


    如果你同意上面這段,下面就是要論述,你也必須同意原題的機率往前往後一樣。我分成上中下不同的方式解釋。越前面的越能觸及問題的核心,但相對比較難懂。


    • 上:

           

    為什麼「看」到青蛙能分別兩隻,但是「聽」到青蛙不能分別? 

    當然,你看到他們時,因為他們沒有在叫,所以你分不出來哪一隻是剛才叫過的那一隻。但是反正你兩隻都要舔,機率上是不會變的。原來的問題等價於你一開始「看」到兩隻青蛙中有一隻叫了,你算出你生存的機率是 1/2。 然後你把兩隻青蛙洗牌洗亂,這時候你再算一次機率。難道這時變成 2/3


    • 中 :

    假設你有個朋友在你旁邊也中毒了,但他看到哪隻青蛙叫,你沒看到。你們沒時間講話,因為忙著算機率。他算是兩邊一樣,你算出後面有 2/3 的生機。

    你拉著他一起往後面走去共享那兩隻青蛙。
     結果有 1/6 = 2/3-1/2 的機率你活下來而他死了? 難道那兩隻是特務青蛙,而你朋友知道太多了?


    • 中二
    你說,好吧,也許真實情形是 1/2。但從我已經有的資訊來看,我只能得到 2/3 的結論,因為我的資訊不完整,這就是條件機率啊。

    可以回去看一下「上」。而且,你只要幻想一下有那個朋友,就能推出
     1/2 的結果,所以你的資訊已經足夠。


    • 下 :
    我們實際上來算好了。 假設隨便抓一隻青蛙,在題目中的那段時間中會叫的機率是 p 
    前面的那隻,因為沒有叫,所以有 0.5/(1-p) = 1/(2-2p) 的機率是母的。
    後面那兩隻,「恰」有一隻會叫的機率是 2p(1-p) 而一隻母一隻會叫的機率是 2 * p * 0.5 = p  所以其中一隻是母的條件機率同樣也是 1/(2-2p) 


    如果有一定的機率是剛好兩隻同時叫,因而我們只聽到一聲,那機率會更小一點。


    會不會只是題目解釋不同呢?

    到這裡,很可能你理智上已經可以接受兩邊一樣了,但情感上還是無法否定 2/3 的那個解法。你可能會覺得,這也許只是題目文字解釋上的不同。情感上的原因之一是,很多所謂 1/2 派的人,其實是完全錯誤的,甚至連條件機率都不懂,根本只是看不懂 2/3 的解答。

    但會不會只是題目解釋不同,因為取樣方式可能有不同解釋,就像 Bertrand paradox [2] 一樣?
            
    以這題來說,不是的。因為從「聽到一個叫聲」到「至少一隻是公的」中間會有落差。
     如果只看「下」的解釋,也許還能說只是取樣方式的問題。但因為有上和中的問題,所以你很難把「聽到一個叫聲」當成是「至少一隻是公
    」。    


    你可以秤兩個銅板,知道比兩個真幣輕。
    你可以因為燈沒亮,知道至少一個開關壞掉了。
    你甚至可以看到兩隻青蛙站在葉子上面沒有沉下去,而兩隻母青蛙一定會沉下去。

    但「叫」是「一隻」青蛙的動作。這個問題除了後面的「某一隻」叫了之外,還有前面的那隻沒有叫。


    結論

    理論上來說,生活經驗會與理論相同;但生活經驗上來說,理論和生活經驗不同。

    大家都想讓數學題目更生活化更有趣,但現實生活往往比數學要複雜得多。 所以常常題目就會有些漏洞、不合理(像是不理會後面苦苦追趕的哥哥,堅持持續時速 7.5 公里往前走的弟弟; 在兩列火車中間折返跑的蒼蠅),或者題目變得又長又拗口。 就請大家多體諒一下出題者的辛苦囉!


    題:      



     如果不是聽到,而是聞到呢?


    影片連結:

    [1] https://www.youtube.com/watch?v=cpwSGsb-rTs
    [2] 
    https://en.wikipedia.org/wiki/Bertrand_paradox_(probability)

    作者簡介
    魏澤人-東華大學應用數學系副教授
    創辦花蓮.py 及實做數學,不定期組織各項活動。參與數學奧林匹亞工作小組、生活化與科技化數學講座。今年參與台灣 PyCon 專業課程、TWSIAM 會前工作坊 PyDay、台大黑客松資料科學學程、並且與 Taipei.py 、南港高中、Omega Zone 合作工作坊。 將陸續參與木刻思 DL 課程及台灣人工智慧/資料科學年會活動。


    Posted Oct 1, 2017, 10:56 PM by 陳宏賓
Showing posts 1 - 1 of 1. View more »



Hot News

  • IMAGINARY: Infinity & Beyond 超越無限數學印象
    Posted Jan 26, 2016, 1:24 AM by 陳宏賓
  • Our Big News 一個專屬於數學的中文電子媒體即將誕生! OPEN  ACCESS! 絕對免費! 強力徵求各路數學好手>>徵求條件: 1) 對於數學科普寫作有興趣的朋友2) 對於數學界新聞經常FOLLOW的朋友3) 可以將英文稿翻譯摘要,並介紹給讀者的朋友4) 擁有各式各樣關於數學的技藝5) 對於出版編輯電子刊物,網頁設計美工有興趣>>薪資福利: 無。參加者真的是佛心來著的。>>有興趣的善心人士請隨時聯絡我! 
    Posted Jan 19, 2015, 12:05 AM by 陳宏賓
  • 創刊號預告 在此告知各位 UniMath 讀者,UniMath很榮幸邀請到在國內數學科普領域非常活躍、也長期投注心血在數學教育文化的學者,目前任職於中央研究院數學研究所的資深研究員 - 李國偉博士,來為 UniMath 寫創刊號的主文。內容必定非常精采,有興趣的朋友千萬不要錯過了!!! 內容必定非常精采,有興趣的朋友千萬不要錯過了!!! 內容必定非常精采,有興趣的朋友千萬不要錯過了!!! 因為很重要,所以要講三次! 
    Posted Jan 19, 2015, 12:05 AM by 陳宏賓
Showing posts 1 - 3 of 3. View more »