一位偉大的數學家之所以受人尊崇，絕不是因為產出多少篇論文，而是其研究工作解決關鍵的數學難題，更重要的是他的創意發想帶動數學領域的後續發展。在美國普林斯頓高等數學研究院裏，一位出生於比利時的讓·布爾甘 (Jean Bourgain) 就是這樣的偉大數學家，他的研究領域涵蓋調和分析、偏微分方程、組合學、 數論、群論、動態系統…等，一生中獲獎無數，包含數學領域最高榮譽－菲爾茲獎。去年底(2018年12月)數學界接連失去兩位分析領域大師，其中一位即是布爾甘(64歲)。

布爾甘的數學研究涉獵廣泛，今天介紹給各位讀者的是一道關於調和分析以及幾何測度論的著名問題－Kakeya 猜想。

(Jean Bourgain教授 2008 Fields Institute @ Photo by Boris Bukh)

Kakeya 猜想是一道相當知名的數學難題，知名到連美國總統川普大大都曾經拿來酸另一位數學家陶哲軒，笑陶哲軒只是一個解不出 Kakeya 猜想的怪咖才會一直攻擊他。數學家得罪總統大人的原因也很簡單，就是陶哲軒在總統大選前撰文公開反對川普當美國總統的立場，川普大大也不改嘴上從不吃虧的本性，立刻就在推特嘴回去了XD 值得一提的是，川普就算嘴人也不簡單，還曉得用對手一心想攻克的難題來說嘴。(請看川普推特的截圖，學習如何當有文化的酸民）

回來談談 Kakeya 問題，沒錯你看到的確是一個日本人的名字。1917年日本數學家 Kakeya 好奇關於旋轉針的問題：

想像一根長度為1的針躺在鋪平的紙上，能不能夠找到一個區域使得針可以經由在區域內部轉動而指向任意一個方向？

顯然的，將針放置在一個單位圓的內部即可旋轉到任意一個指定方向，因此，單位圓是一個解答。然而 Kakeya 提出的疑問是，這樣一個區域的面積能不能無限小（要多小就有多小）呢？

打個比方，Kakeya 的要求就像是去吃到飽的餐廳，隨便拿起一個盤子，要求你把每一種食物都裝進這個盤子裡。天阿！有這種事？ 

很多時候，這類違反直覺的衝突感正是數學令人驚喜的地方。一直過了好幾年，幾何測度論大師 Besicovitch 明確的建構出這樣子的區域而且面積為零。後續我們稱這種區域為 Kakeya 集合（Kakeya sets）。


那問題解決了，還需要談什麼 Kakeya 猜想？是的！  Kakeya 原本的問題是被解決了，但是數學家朝夕對著這問題終於日久生情，產生更進一步的興趣和好奇心，當然，也不是沒事找事做，這後續的問題對於近代的分析學，組合學，數論，微分方程領域都有非常重要的連結，不過本文不打算針對此詳談，只著重於科普一下這道數學猜想和布爾甘的故事，讓各位讀者以後看到爸媽拿針縫衣服的時候，可以順便跟他們聊一下這個數學典故(誰會跟爸媽聊這種話題阿XD)。

好啦，我們繼續來看數學家後續到底關心的是什麼代誌，如果不是從面積的角度來衡量區域的大小，而是從所謂的 Hausdorff 量度來看，那麼 Besicovitch 建構的 Kakeya 集合是很大的。簡單說就是，Hausdorff 量度是一種可以讓我們探討更細微結構的一種尺度，而數學家想要在這個尺度上來談論 Kakeya 問題。打個比方，你拿兩條平面上的曲線，問說誰的面積比較大？如果使用面積的觀點做為量度的單位，那沒什麼值得探討，因為曲線在平面上的面積都是零，區分不了兩條曲線的差異，因此數學家就發明了更細微的度量來探討各式各樣的集合，而 Hausdorff 量度就在此處派上用場。

在 Hausdorff 量度的觀點上，所謂 Kakeya 猜想即是：

在 n 維的歐式空間中，任意一個 Kakeya 集合的 Hausdorff 維度也是 n 嗎？

這猜想在一維時是無聊的，在二維時數學家已經知道是正確的了，至於其他維度則目前仍不清楚。除了被川普嘴的陶哲軒，布爾甘對這道難題也很感興趣，他提出了一個絕妙的想法，將此問題連結到組合學，適用於一般維度，得到了相當不錯的進展。

接下來我們以 3 維空間的 Kakeya 集合來說明他的思路。想像有一個集合，在 3 維空間中的每個方向都有一根針躺在這集合裡面，布爾甘假設這個集合的 Hausdorff 維度不大，則會導致某種矛盾。因此，可得知任一個 Kakeya 集合 Hausdorff 維度的下界。更精確地說，如果 Hausdorff 維度不大，則此集合會有許多地方高度地重疊，把某個高度重疊的區域抓出來看看，類似以下示意圖(我們把針想像成非常非常瘦小的管子)：

將管子一端的點收集起來叫做 A 這個集合（如上圖紅點），另一端的點收集起來稱做B（如上圖藍點），這兩個集合 A, B 有個特性，我們可以找到許多的序對 (a, b), (a’, b’), (a’’, b’’)... 其中 a, a’, a’’… 都在 Ａ 集合裡，b, b’, b’’,… 都在 B 集合裡，使得序對兩數字之和皆相等，亦即 a+b = a’+b’ = a’’+b” = ….  這樣的特性。

因為 (a+b)/2 代表管子的中點，上述的特性暗示我們正在假設有許多管子高度重疊在某一中點上，那麼接下來就好辦了，既然有許多序對 (a, b), (a’, b’) 使得 a+b =a’+b’ 那麼套用「很深」的數學恆等式得知 a-b’ = a’-b。換句話說，如果許多序對它們相加都相等，我們也自然可以預期有許多的序對彼此相減也都相等，但是這樣會導致一個矛盾，事實上Kakeya 集合所衍生出來的相減都不相同，因為兩個點相減從另一角度看正是從 b 出發到 a 的向量，而 Kakeya 集合是包含所有方向的那種集合，因此相減必無法造成太多的相同，進而得到矛盾。 

於是，布爾甘利用這漂亮簡潔的巧思，給出了 Kakeya 集合的 Hausdorff 維度一個很棒的下界。他是近代最傑出的數學家之一，我們相信他的研究工作肯定會持續對數學相關領域造成深遠的影響。

謹以此文紀念讓·布爾甘（Jean Bourgain）教授。

作者簡介
沈俊嚴 － 台灣大學數學系副教授
研究數學是個充滿驚奇的過程 (例如：知道博士班指導教授 20 歲即獲得博士學位 )。 感謝這條路上遇到許多相知相惜的朋友、老師，期許自己在陪伴小孩的過程，可以找到一些些數學靈感。