張貼日期：Sep 25, 2019 7:57:55 AM
作者：陳宏賓 副教授（國立中興大學應用數學系）
你可能有印象讀國高中的時候，在大小考試中遭遇這種題目
「請問用 1 元和 5 元硬幣湊成 50 元有幾種組合?」
如果你的數學老師沒有時常請假的話，你知道答案是 11 種。不過今天不是來教大家這題有幾種解，我要說的是其實這就是一個丟番圖方程式 (Diophantine Equations) 的問題，這題等同在問滿足 x+5y=50 的非負整數解 (x,y) 有幾組?
丟番圖問題
指的就是研究像這樣子只限定在整數係數的多項方程式有沒有整數解的議題。
很明顯，並不是所有丟番圖方程式都有整數解。比方說，學過「代數」你就知道5x+10y=98 沒有整數解；看到「代數」就頭暈目眩的人沒關係，換個角度用膝蓋想就知道只用 5 元和 10 元硬幣不可能湊出 98 元。問題是什麼樣的丟番圖方程式有解? 什麼樣的沒有解呢?
數學家對於《線性》方程式 ax+by=c 有完整的刻畫，有整數解的充要條件是 a 和 b 的最大公因數 (greatest common divisor, 簡稱gcd) 必須整除 c。驗證上述的 gcd(5,10)=5 無法整除 98，所以得知無整數解。
遺憾的是，對於《非線性》丟番圖方程式來說，數學家知道的就很有限了。歷史上有許多數學家曾經對丟番圖方程式的研究感到興趣，留下許多著名的猜想，接下來就用數學猜想來串連整個故事囉~
費馬猜想
首先，最廣為人知的應是 17 世紀法國數學家費馬所留下，後世稱為《費馬最後定理》裡面的這道方程式:
當 n>2 時，xn +yn =zn 沒有正整數解。
要命的是費馬在這頁筆記的角落留下一句名言: 「我有一個很好的證明，但這裡空間太小寫不下來。」光是這短短的一則敘述，搞了數學家三百多年，最後由英國數學家安德魯·懷爾斯（Andrew John Wiles）及其學生理查·泰勒（Richard Taylor）完成了證明。
歐拉猜想
許多數學追根究柢常會追溯到一位神奇的數學家－歐拉，也曾經對費馬最後定理著迷，他在 1769 年提出更進一步的猜想:
如果 n>k，則 a1n +a2n +…+akn = bn 都沒有正整數解。
(歐拉大膽猜測如果次方比未知數數量還多就找不到解，費馬最後定理在此僅是 k=2個未知數的特殊情況。) 然而，經過漫長的兩百年左右，Lander 和 Parkin 兩人終於在 1966 年藉由電腦的幫助找到了 k=4 的反例:
275 +845 +1105 +1335 =1445
這篇論文在當年(註)也創下《史上最短論文》的紀錄，下圖就是這篇論文全文。當然，論文的價值不在於長短，任何人能夠指出大數學家歐拉猜錯了都值得發一篇論文，甚至登上報紙頭條也不用太意外。
後來，k=3 的反例也陸續被其他數學家用電腦找到，數論學家 Noam D. Elkies 當年20 歲就從哈佛拿到博士學位，26歲就成為史上最年輕的哈佛大學正教授。他的一項成名工作便是在 1988 年利用橢圓曲線找到了 k=3 的反例
26824404 + 153656394 + 187967604 = 206156734
目前已知最小的反例是
958004 + 2175194 + 4145604 = 4224814
看到這裡你可能會想「電腦看起來很厲害，只要把方程式丟進去讓它找解答，有就說有，沒有就說沒有，問題就解決了，差別只是時間長短而已吧。」
希爾伯特的第10個問題
這個利用電腦來回答有沒有解的想法早在一百多年前就存在著，數學家希爾伯特思索這種可能性，他提出著名的 23 道難題中的第 10 個就是問:
「有沒有可能打造這麼厲害的電腦程式，能判定任何一個多變數的丟番圖方程式是否有解? 」
經過數十年的努力，最終，俄國數學家 Yuri Matiyasevich 的博士論文否定了希爾伯特的第 10 道難題:
證明不可能存在這麼厲害的演算法!
哈代-李特伍德猜想
如果說有些人的腦袋運算能力比電腦還要強大，印度天才數學家拉馬努金可能是其中之一。還記得電影《天才無限家》裡最後哈代搭著計程車到醫院探望拉馬努金的故事嗎? 哈代對躺在床上的拉馬努金說話: 今天搭的計程車車牌 1729 是個沒意思的數字。拉馬努金卻說: 不! 1729 很有趣。它是可以用兩種方法寫成兩個立方和的最小正整數。用丟番圖方程式來表示的話就是 w3 + x3 = y3 +z3，而13 +123 =93 +103=1729 是最小的一個。提起哈代當然少不了哈代的好友李特伍德，他們一起合作許多數學研究，也共同提出不少猜想，其中一個哈代－李特伍德猜想是：
存在無窮多個質數 p 滿足丟番圖方程式 p=x3 +y3 +z3
英國數學家羅格·希斯布朗 (Roger Heath-Brown) 是第一個解決哈代-李特伍德猜想的人，他在 2001 年證明
存在無窮多個質數 p 可以表示成 p=x3 +2y3
不過，不像找到歐拉猜想反例的論文可以角逐史上最短論文之頭銜，希斯布朗的論文長達 80 多頁。
希斯布朗猜想
希斯布朗也提出一個推廣上述丟番圖方程式的猜想:
每個正整數 n，只要除以 9 的餘數不是 4 或 5，必定存在無窮多種方法表示成三個立方數的和。
換句話說，對每一個 n 都找得到無窮多組 (x,y,z) 滿足方程式 n= x3 +y3 +z3。
事實上，從 1955 年開始就有數學家積極研究三立方和有沒有整數解，有些答案很顯而易見，例如 29=33 +13 +13 ；有些可以用數學推論沒有解，比方說 31 和 32 (因為這兩個數除以 9 的餘數是 4 或 5)；然而，有些數字卻超乎想像的困難，即使這數字很小，例如 3，數學家對它的了解僅止於 3=13 +13 +13和 3=43 +43 +(-5)3 ，所知非常有限。隨著數字越來越大，基本上想要找到解答的困難度就越來越高。
剛才提過的那位哈佛數論學家 Elkies 在 1996 年提出一套演算法用來尋找三立方和解，到了 1999 年他和喬治亞大學的研究團隊才各自獨立 (用 Elkies 的演算法) 找到 30 的分解方法 30 = 22204229323 -2830599653 -22188885173。直到 2008 年，數學家對於 1000 以內的數字有沒有三立方和表示法僅剩下 14 個數不知道:
33, 42, 74, 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 795, 906, 921, 975
2016 年，Sander G. Huisman 首先解開 74 的謎團
74 = 662298321905563 +2834501056977273 -2846502925558853
因此， 33 和 42 這兩個小於 100 的數，究竟何時會找到三立方和解就成為接下來的焦點。
33 和 42 有沒有三立方和整數解
今年初有一則數學界的熱門新聞，睽違了 64 年之久，Andrew Booker 發現 33 的三立方和解!
當然，Booker 找到這組長達 16 位數的解仰賴電腦的幫忙，但不完全如媒體報導依靠線上串聯幾萬台電腦的運算威力就能達成目標，更關鍵之處是在於他修改了過去常用的 Elkies 演算法，大幅減少搜尋的範圍才得以成功。他受訪時表示，他的新演算法比起過去的方法速度快上 20 倍左右，即便如此，原本期待新方法 6 個月左右才會有結果，沒想到 3 個禮拜後就蹦出答案，讓他又驚又喜。
在 33 解決之後，100 以內未解的數剩下 42。不過，由於 33 被解決一事引起更多關注和興趣，九月初又傳來 42 被破解的好消息，兩位 Andrew (Andrew Booker和MIT的數學家Andrew Sutherland) 一起找到 42 和 906 的解。
42 = (–80,538,738,812,075,974)3 + 80,435,758,145,817,5153 + 12,602,123,297,335,6313
906 = 359619796153565033 +720540896793533783 -749242593956103973
即使找到 33 和 42 的解答，Booker 和其他數學家還是要面對介於 101 到 1000 之間未知的 9 個數字，接著是 1000 之後無窮無盡的數，這些進展從解決希斯布朗猜測的角度來看根本還微不足道，Booker 也坦承自己的解決方案對於數學理論推展上沒有太多幫助，但他將之視為一種可以用來輔助驗證對與錯的新工具，這對已經被證明不存在一種演算法足以判斷任一丟番圖方程式有解與否的情況來說，若能加快驗證的速度絕對是丟番圖方程式研究的一項好消息。
最新進展
截至目前為止，1000 以內還沒有找到的剩下九條好漢 114, 165, 390, 579, 627, 633, 732, 921, 975。最新的消息是找到 3 的新表示法，除了 13 +13 +13 和 43 +43 +(-5)3 之外，熱騰騰剛出爐的一長串，如下圖，有興趣的讀者請到Numberphile 的 youtube 頻道觀賞一系列的更多訪問哦。
註: 目前最短論文是由 John Conway 和 Alexander Soifer 發表，內文只有這幾個字『n2 +2 can』。
參考資料
1. Andrew Booker, Cracking the problem with 33, arxiv.org/abs/1903.04284
2. John Pavlus (Quanta magazine), Sum-of-Three-Cubes Problem Solved for Stubborn Number 33.
3. Jørgen Veisdal (Medium), Famous Diophantine Equations.
4. 林開亮, 三立方和問題。