【組合】超人氣桌遊 – 嗒寶中的射影幾何

最近在親子社團中，有人在推薦一款桌遊 – 嗒寶，規則非常容易，也很好玩。買回來後，真的連三歲小孩都玩的不亦樂乎。

嗒寶，或叫「哆寶、眼尖手快」，英文叫「Dobble、Spot It!」，有這麼多名字，是因為它實在太熱門了，被做出了非常多的版本，全世界加起來少說也有兩百種。

嗒寶的設計，最早可以追溯到1976年，法國的Jacques Cottereau，因為看到了「科克曼15個女學生問題 (Kirkman’s Schoolgirl Problem)」，學了【組合設計】與【編碼理論】後，就在雜誌上發表了他設計的兩款數學桌遊，其中一款叫「昆蟲遊戲」，有31張牌，每張牌有6隻不同的昆蟲，且任兩張牌都恰有一隻相同的昆蟲。

【玩法】每人先發一張，接著在桌面翻出另一張公開牌，比看誰先找出自己的牌跟桌面公開牌上一樣的昆蟲，就可以將桌面的牌拿走，最後牌多的就是贏家。

規則這麼幾句話就可以講完了，玩起來又很刺激，立刻在酒吧間傳開來。

事隔約30年後(2008年)，也是桌遊愛好者的Denis Blanchot (Cottereau 的女婿的弟弟)，本業是個商人，無意間看到了「昆蟲遊戲」這款老桌遊，覺得是個商機，於是兩人就將一堆會讓人眼花的昆蟲，改成可愛的卡通圖案，並將數量增加，藉以提高難度才不會一眼就看出答案，在2009年由廠商Play Factory在法國發行了「Dobble」這款遊戲。2010年在德國發行，2011年於北美發行，名為「Spot It!」，直到現在已被改成了超多種版本。

嗒寶有55張牌，每張牌恰有8個圖案，任兩張牌皆恰有一個共同圖案。玩法之一就跟「昆蟲遊戲」一樣，而說明書中，有介紹了五種玩法，網路上可以查到第六種玩法。但這裡我們不討論玩法，我們把焦點放在「任兩張牌皆恰有一個共同圖案」，不能多也不能少，這麼神奇的事情到底是怎麼做出來的呢？

有不少科展作品在討論嗒寶的性質[1,2,3,4,5]，有興趣的讀者可以搜尋他們的作品來看看，雖然裡面有些討論並不嚴謹，但國高中生、甚至國小生，可以從遊戲體會到這麼多的數學觀察是非常值得鼓勵的事情。

根據嗒寶的說明書，其牌組滿足下面三個條件：

A0) 共55張牌

A1) 任兩張牌恰一共同圖案

A2) 每張牌恰8個圖案

總共有幾個不同的圖案

嗒寶的說明書上寫著，裡面有五十多種圖案，但到底是幾種呢？

單單只要滿足A0, A1, A2這三條件來看，其實很容易構造。一個簡單的方式就是這55張牌上面都有「月亮」，然後讓每張牌上其它7個圖案，全部都不同，如此共有55×7+1=386種圖案。但很明顯這樣設計就一點都不好玩了。

那最少要幾個圖案呢？

利用鴿籠原理與算兩次(Two Ways Counting)技巧可得到下界。假設有b種圖案，以有包含「月亮」這個圖案的牌來看，因為任兩張牌恰一相同圖案，所以不會再有其它圖案相同了，因此有包含月亮的牌，

滿足A0, A1, A2條件，至少要57個圖案，但57個圖案真的做的出來嗎？細數了一下嗒寶所有牌上面的圖案，還真的恰有57個，所以57的解法是存在的，因此我們就證明了，滿足A0, A1, A2條件的嗒寶，其圖案數介於57到386之間。

最少圖案

那嗒寶這55張(每張牌8個圖案)是怎麼設計出來的呢？昆蟲遊戲的31張(每張牌6個圖案)又是怎麼設計出來的？能不能做出每張牌有7個圖案的版本呢？

這裡的建構法，指的是指滿足條件A0, A1, A2的最少圖案的建構法，而不是每張牌都有同一個圖案的無聊建構法。

這樣的條件，讓我想到了組合設計或射影幾何中的「有限投影平面(Finite Projective Plane)」，它除了有前述A0, A1, A2這三個特性外，還有其他特性。

Order q 的有限投影平面有幾個特性：

A0) 有q^2+q+1 條線、q^2+q+1個點

A1) 平面上任兩線恰交於一點

A2) 每條線上有q+1個點

A3) 任兩點恰決定一條線

A4) 每個點落於q+1條線上

這裡的q為質數冪(Prime Power)。而上面提到的點線，並非國高中所學的二維、三維的點線，它把點線推廣成抽象的結構，這裡我們就省去文縐縐的數學定義了。簡單來說，可以把這抽象的線看成是一張一張的牌，抽象的點看成是牌上的圖案；

所以有q^2+q+1張牌、共q^2+q+1個圖案，每張牌有q+1個圖案，此時帶入前面的不等式：

恰好等號成立，所以符合這種投影平面做出來的嗒寶，所用的圖案數也是最少的。

不只如此，因為A3「任兩點恰決定一條線」的特性，也就是任兩個圖案，恰出現在一張牌上，這也是嗒寶的隱藏性質。例如：「眼鏡跟鉛筆」不會不同時出現，也不會同時出現在兩張牌中，就只會同時出現在一張牌上。所以當沒人陪你玩嗒寶，又很想玩的話，可以自己給自己出題，「眼鏡跟鉛筆」，然後把同時包含眼鏡跟鉛筆的唯一的這張牌找出來。(是誰會這麼無聊？)

建構法

這裡簡單說一下PG(2,q)，當q為質數時的建構法。我們利用矩陣來表示這個建構法，每張牌就是一個Column(行)，每個圖案就是一個Row (列)，或是兩者相反也可以。若牌x有圖案y的話，就把第x-th column、第y-th row的元素打勾。製作方法是這樣的，把column與row標記一個三維向量，分為是(0,0,1),(0,1,a),(1,a,b)，其中a,b=0,1,2,…,q-1，這樣剛好q^2+q+1個columns也是q^2+q+1個rows。若行與列的兩個向量內積是q的倍數，該位置就打勾。下表為了符號簡潔，我把向量(1,a,b)寫成1ab。

當q=2時

當q=3時

當q=5時（就是昆蟲遊戲）

當q=7時（就是嗒寶）

值得一提的是，Projective Plane建構法一般而言並非唯一的，但是在q是質數時，是唯一的，皆為PG(2,q)。當q為質數的2次方以上的冪時，建構的方法就多了，PG(2,q)只是其中一種建構法(此時乘法不再是乘完除以q的餘數了，要使用finite field F_q中的乘法。)

G. Eric Moorhouse [7,8] 列出了所有文獻中q≤49時的建構法，例如：q=9時，有4種建構法；q=16時有22種建構法。

那當q不是質數冪時呢？

Bruck與Ryser [9] 證明了「若Order q的projective plane存在，且q≡1 or 2 (mod 4)，則q必能寫成兩正整數的平方和。」

由於6, 14, 21, 22…無法寫成兩整數的平方和，所以立刻就知道q=6,14,21,22是做不出來的，也就是做不出每張牌有7,15,22,23個圖案，且圖案數最少的嗒寶。而像10=1^2+3^2，無法立刻說明q=10造不出投影平面，這是lement W. H. Lam[10]利用電腦輔助窮舉後，才能確定此事。直到目前為此，「只有Order是Prime Power才有投影平面」仍然是一個數學上的重要猜想。

找出缺的兩張

前面的例子PG(2,q)，當q=5時就能做出31張，每張有6個圖案的嗒寶(就是昆蟲遊戲)，當q=7時，就是做出57張，每張有8個圖案的嗒寶。

等等，57張？！嗒寶不是只有55張嗎？

錯，各種版本的嗒寶都是55張，那問題出在哪呢？找到的文獻都是說當時的製造商找的是撲克牌的製造商，他們的模具是裁出5×11=55張的牌(52張牌，加兩張鬼牌，加一張廣告牌)，所以就只能做出55張的版本。我是覺得有點牽強啦，畢竟這麼熱賣的桌遊，再多開個模，把另兩張補齊，並非難事。不管如何，目前這個就變成嗒寶的一個特色了，不管什麼版本，都是55張。我們就用它最原始的版本，將它每張牌的圖案都列出來，發現「雪人」只出現了6次，所以缺的兩張中，都必有雪人，然後再從只出現7次的圖案中來安排即可。如下表，其中56th, 57th columns就是缺的兩張。

於是我就把這兩張P了出來 ，如下。市面上如果有57張版的嗒寶齁，攏是騙人的啦，請認明有『師大君逸』四個字的才是57張完整版(誤)。

其他玩法

除了說明書中的五種玩法外，網路上流傳的第六種玩法(叫三胞胎)，有一種是從九張牌中，找出三張有共同圖案的。

問題一: 任意九張嗒寶牌，一定可以找到三張有共同物嗎？

問題二: 是否存在8張嗒寶牌，都找不到三張有共同物呢？

這兩個問題的答案都是肯定的，而且我們有個巧妙的證明，因為篇幅的關係，就不在這裡說明了。

（怎麼聽起來有點熟悉）

這裡我們設計了第七種玩法「群找三胞胎」，若讀者身邊剛好有嗒寶牌的話，可以來試試。

「每個人先發一張手牌，海底翻出9張牌，然後每個人從海底的9張牌中，找出兩張與自己的手牌有共同圖案的。」此為傳統玩法的加強版，希望大家會喜歡。會不會有找不到的時候呢？不會！

會不會有找不到的時候呢？

不會！

這個用鴿籠原理即可解釋。手牌有8個圖案，海底9張牌，而又每張都與手牌有共同圖案，必存在至少兩張牌與手牌有共同圖案。

我們將這些結果推廣，並寫成數學定理，讀者可以體會一下，原來數學家都是這樣把東西變的更精簡(ㄈㄨˋ ㄗㄚ ˊ)的。

q為質數冪次，PG(2,q)為前所述之建構法。

定理1：在PG(2,q)中，必能找到q+1條線，使得任三線不共點。

定理2：若q為偶數，在PG(2,q)中，必能找到q+2條線，使得任三線不共點。

定理3：若q為奇數，在PG(2,q)中的任q+2條線，其中必有三線共點。

定理4：設L為PG(2,q)中的線，則對於任意異於L的q+2條線中，必有兩線，與L的交點相同。

讀者若有什麼想法，都歡迎在彈幕留言，呃，我是指可以來信討論。

結語

沒想到在一個小小的桌遊中，竟然隱含著這麼多的數學。除了利用投影平面來構造外，在組合設計的領域中，還有更多的討論，更多的性質，可以幫助我們製造更複雜的嗒寶，例如「任三張牌皆有共同圖案」，「任兩張牌皆有兩個共同圖案」，「任14張牌，找出四張有共同圖案的牌」……等等的，非常多種。當然這裡面，還是有很多數學家解不出來的問題，讀者不妨訂一些新的性質來試著設計自己的嗒寶，說不定無意間就解決了懸宕數十年的猜想也說不定。

參考資料

1. 林宣聿、彭彥翔、李東庭，「哆」種「寶」物的排列組合，109學年度公私立中小學科展，佳作。

2. 鄔玟潔、謝宏昀、鍾佳欣，「哆」次的相遇——只有唯一，都是至「寶」，新北第 56 屆中小學科展

3. 王傑宇、楊程光、黃羿愷、黃昱綺、趙翊喬，哆寶喜歡捉迷藏，第 56 屆中小學全國科學展覽，佳作。

4. 黃柏瑜，神奇桌遊—哆寶，金門第55屆中小學科展。

5. 作者不詳，不可「哆」得─哆寶之多面體結合與規律探討，新北市 106 年數學科科展甲等暨最佳團隊獎。

6. 作者不詳，「Spot It」哆寶桌遊之探討與延伸，嘉義市第 38 屆中小學科展，第二名。

7. G. Eric Moorhouse, PSL(2,q) as a collineation group of projective planes of small order, Geometriae Dedicata 31 (1989), 63-88.

8. G. Eric Moorhouse, Projective planes of small order, technical report, September 2000.

9. R. H. Bruck and H. J. Ryser, The Nonexistence of Certain Finite Projective Planes, Canadian Journal of Mathematics, Volume 1 , Issue 1 , 01 February 1949 , pp. 88 – 93.

10. Lam, C. W. H. “The Search for a Finite Projective Plane of Order 10.” The American Mathematical Monthly 98, no. 4 (1991): 305–18.