張貼日期：Mar 07, 2021 9:1:33 AM

究竟，布豐投針實驗是實驗什麼東西，有什麼魔力連續三年吸引台灣眾多師生，並且引起國際數學聯盟的興趣，將此項活動列入官方 https://www.idm314.org/ 主要活動之一。

蒙地卡羅法 (Monte Carlo Methods) 是以摩納哥一個以眾多賭場而聞名的蒙地卡羅地區命名，在數學和科學中起著至關重要的作用，利用隨機性來解決各種複雜到難以計算的問題，例如核連鎖反應統計到交通流量調節。這種方法的最早且最著名的用途之一是在 18 世紀，當時法國數學家布豐的結果顯示，通過將針反覆丟在畫有平行線的紙上，並針與線的相交次數，就可以獲得常數 Pi = 3.1415 的估計值...

《布豐伯爵的投針實驗》

如果我們要談布豐投針實驗的故事，不妨從拉普拉斯的機率論開始講起。

一般高中生所學習的「機率」一詞大致上會跟排列組合的計數問題相關，比如說，丟一顆骰子點數出現奇數的機率是1/2，這 1/2 怎麼算的? 就是算點數奇數的可能有 3 種，除以全部點數有 6 種可能，3/6 等於 1/2。知名數學家拉普拉斯是第一個明確定義這種算法的人，現在稱之為「古典機率模型」。重點是古典機率考慮的是有限的機率空間，藉由計算某事件發生的次數來評估機率，例如投擲一顆公正的六面骰子，僅有六種不同的結果，因此出現每一種結果的機率皆為 1/6。如此定義機率合乎人們的直覺和經驗，看起來非常完美。

不過，事情並非如想像中單純，人們發現並非所有事件的機率都是有限種情況就可以描述，如果不是，事情就變得麻煩了。

1812 年，拉普拉斯在他的《機率論》一書中提了一句話，他說「我們能透過布豐投針實驗，簡單地把針丟在紙上就能估算出 𝜋 的值」。自此之後，不少人宣稱做了該實驗估算圓周率，大致上結果都符合預期落在 3 和 4 之間，其中最精準的是 1901 年由義大利數學家拉薩里尼（Mario Lazzarini）完成，他的結果 3.141592 精確到小數點後第六位。拉薩里尼的工作在當時極具特殊意義，在好幾份論文中被提起，用以描繪一種新關聯性的輪廓—精確的數學竟能用機率法則驗證。不過，也有人質疑拉薩里尼的實驗，認為這種隨機的實驗他的數字精準得不可思議，看起來太可疑了。接下來，我們就來談談究竟是哪裡有疑點。

《布豐投針》源自十八世紀的博物學家喬治－路易勒克萊爾，布豐伯爵（Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon）。1777年，布豐發表了一份有趣的機率分析，使他成為幾何機率論的創始者。不過，這一切的出發點和圓周率根本沒有半點關係，他單純只是好奇一個有趣的事情 :

「丟一根針在等間距的橫線上，針與線相交的機率 P 是多少？」

很明顯，針投擲於紙上所呈現的針線狀態有無窮多種，因此，拉普拉斯的古典機率模型所採用的計數方法就不再適用，因為你沒辦法明確算出總共有幾種，當分母是無窮大的時候這方法就碰壁了。

布豐厲害的地方就在於，他說這個在當時看起來不能算的機率竟然可以算，只不過必須要改變一種觀點來看待機率。他的研究成果發現：如果針的長度 a 短於等寬橫線的間隔 b ，那麼針和線相交的機率是 P=2𝑎/𝜋𝑏。

直覺告訴我們，針越長應該越容易交到線，因此機率應是隨著 a 遞增的函數；間隔越長則是越難有交點，因此機率應是隨著 b 遞減的函數。公式符合這樣的直覺，不過，最令人意外的是公式中的 𝜋 從哪兒來的，這很不自然，因此吸引了許多關注的目光探索這個現象。

那為什麼算投針機率的公式可以用來估計 𝜋 值呢？關鍵就在於這個等式 P=2𝑎/𝜋𝑏，已知長度 a 和 b，進行投針實驗後可以得到［總投擲次數 n］和［針線相交次數 h］，求得針線相交機率 P₀＝h/n，理論上投擲的次數趨近於無窮大時，P₀會趨近於 P，換句話說，投擲足夠多次之後，所得到的 P₀ 值會跟 P 很接近。因此，依據公式就可以反求圓周率 𝜋 的估計值應為多少。想通了這個原理，景美女中的鄭佳瑜老師第一年帶班參加企劃活動時，自行設計一套教學教案變化出三種靈活玩法，在課堂上讓學生投擲竹籤做實驗估計圓周率之外，你還可以隱藏「竹籤長」或「間隔長」其中一個值，讓學生進行實驗再利用等式估計唯一的未知數，竹籤長或者間隔長 (此時 𝜋 值就視為已知，用3.1415926… 來代入)。

拉薩里尼的嫌疑

兩三百年來有不少人曾經進行這項投針實驗並發表他們得出的估計結果，在眾多結果當中，拉薩里尼的實驗結果最引人注目，在該實驗中：針長 a=2.5，間隔長 b=3，投擲次數 n=3408，相交次數 h=1808，依照公式得到 3.1415929...，由於 𝜋 約為 3.1415926…，他的結果精準到小數點下第六位。

不過，3408 和 1808 這兩個數字你會不會越想越不太對勁。

第一個疑點是為什麼要丟 3408 次呢? 為何不丟個看起來較圓滿的 3000 次或者 3500 次之類的?

第二個疑點是如果相交的次數不小心多了一點，讓 h=1809 答案變成 3.1398...，或少了一點，讓 h=1807 答案變成 3.1433...；你讓投擲次數不小心增減一點試算看看，會得到類似的觀察: 結果接近 3.14 但僅此而已。

換句話說，拉薩里尼的結果看起來是超級無敵幸運的那種。

統計學檢視

根據大數法則，理論上我們讓投擲次數 n 越大，有越高的機率讓得出的結果越接近期望值。就有數學家去計算 n 要多大，才能夠讓得到的誤差達到足夠小 (此處是精準到小數點後第六位) 的機率超過 95%，結果發現大概 n 要到 134 兆那麼大，這數字有多大，打個比方如果你每秒鐘能夠丟 1000 根針再撿回來，一年有 3千多萬秒，那麼丟完 134 兆根針大概還要 4 萬多年，哈。如此看來拉薩里尼不只超級無敵幸運，還是幸運到沒朋友的那種。

物理學檢視

另一個可以吐槽的點是測量的精度。在數學世界裡所有數字都是完美的，然而在物理世界中不是這麼一回事。

據拉薩里尼回報的結果，他實驗選用的針長為 2.5 公分、間隔 3 公分，想當然這是實際測量值，但問題是，以一百多年前的技術水準來說，測量誤差值會落在 ± 0.0005 公分左右，套用這個誤差範圍去估計，在最好的狀況下我們只能說拉薩里尼的結果會落在 3.1404 到 3.1427 這個範圍，因此，小數點後第三位開始的精準度從測量誤差的角度來說是沒有意義的。

歷史學檢視

更仔細的觀察拉薩里尼的算式

這個分數最早是由南北朝時期(約十五世紀)的數學家祖沖之所求得的圓周率逼近值，對大部分數學家來說，這個有理數相當知名，拉薩里尼必定也知道。而且，以分母的大小來說，113 是可達到小數點後第六位精度的裡面最小的一個，下一次出現在 52163/16604。

最後一個吐槽點是拉薩里尼的幸運發生不只一次。事實上，拉薩里尼不只提出一道實驗結果，他提報的數據顯示總共進行了七次實驗，每次的實驗投擲次數都不相同，然而針線相交的次數總是剛好發生在最接近圓周率的那個數字，僅有一次例外。

由以上分析說單純是巧合。你，相信嗎?