四大元素與柏拉圖立體

亞里斯多德（Aristotle）在2000多年前就開始尋找可以完美填充或平鋪三維空間的形狀。最近，麻省理工學院（MIT）的30名大學生團隊正在延續這項古老任務。他們利用最新的一項數學進展，為千年來的數學探索注入新的活力。

自古以來，人類對於我們的世界到底是由什麼形塑而成一直感到興趣，當時所謂『元素』就是構成世界上所有物質的最基本實體，或者能量。東方世界的古中國有大家熟知的『五行』：金、木、水、火、土，西方世界的古希臘有所謂的『四元素論』：土、水、風（空氣）和火，跟加入第五元素以太的『五元素論』。

亞里斯多德對空間填充問題產生興趣是從吐槽他老師柏拉圖的主張開始

柏拉圖有一套形塑世界的理論，即世界由四個元素組成：土、水、風（空氣）和火。「元素」一詞就是在公元前360年柏拉圖首先提出。他推測這些元素都是由獨特形狀的粒子構成的，對應到五個柏拉圖立體（正多面體）中的四個，例如土粒子的形狀像正立方體，水粒子的形狀像正二十面體，風粒子像正八面體，還有像尖尖的四棱錐正四面體那樣的火粒子。（咦～正十二面體人呢？）

亞里斯多德基於他的假設提出反對，即這些基本元素的粒子必須能夠單獨填充整個空間才行。也就是說他認為空間中除了基本元素之外不能有空虛的地方，在有水的地方，需要能夠排列正二十面體水粒子來充滿，以使二十面體完美地佔據整個水域而不會重疊。但亞里斯多德認為，這就是老師柏拉圖的理論之問題所在。他在公元前350年一本書中提到

『只使用正二十面體是無法填滿整個空間的，因此，水粒子不可能是這種形狀。』

基於同樣的理由，他懷疑風粒子的形狀是否真如正八面體一樣。另一方面，亞里斯多德認同正立方體（土）和正四面體（火）具有填充整個空間的性質。

千年後，事實證明，亞里斯多德錯了。

早在1400年代左右，科學家就開始懷疑正四面體（其中四個面均為正三角形）也不能用於填充空間。後來的數學家也很快地確定四面體不能填充整個三維空間。其實你試著把好幾個正四面體堆一起看看，並不難理解原因。

如果正四面體不能鋪滿空間，其他四面體能嗎？

1923年，鄧肯·索默維爾（Duncan Sommerville）證實了最早的例子。經過多年的發展，數學家們現在發現了兩個單獨的四面體和三個無限的四面體家族，它們能夠填補整個空間。這些四面體族可以通過多種方式調整其中的參數，以使某些內角變小，而另一些內角依照比例變大，同時保持填滿空間的能力。

多年來，數學家一直沒有找到其他可能，也不知道可能存在多少個這樣的四面體。

幸運的是，這道難題和其他兩個相關問題之間有一漂亮的對應，有助於尋找可以填滿三維空間的四面體。

一、希爾伯特的第三個難題

第一個相關的問題是：『是否可以總是用剪刀將兩個相同體積的多面體其中一個剪開成有限多塊，並重新組裝成另一個？』數學家希爾伯特（David Hilbert）在1900年提出這個問題（二十三個問題的第三個），承襲高斯的研究思維，希爾伯特認為答案應該是否定的，但他無法證明。同年，他的學生馬克斯·德恩（Max Dehn）提出解決這道難題的關鍵想法，印證了希爾伯特的主張。這也是希爾伯特二十三個問題中最早被解決的！

他提出的想法是每一個多面體都可以利用其內部的角度來決定一個值，現在稱為 Dehn 不變量。他證明，要使兩個形狀“剪刀全等 (scissors congruence)”（指一個可以剪開並重新組裝成另一個），則它們必須具有相同的 Dehn 不變量。Dehn 就用他的新方法來證明正四面體與正立方體並非剪刀全等，因為它們的 Dehn 不變量不同。

兩個關鍵定理

在上世紀後期，數學家們證明了另外兩個關鍵定理，這些定理將剪刀全等和完全填充聯繫在一起。

1965 年，讓·皮埃爾·賽德勒（Jean-Pierre Sydler）證明具有相同體積和相同 Dehn 不變量的任何兩個形狀都是剪刀全等的。

此外，在1980年，漢斯·德布倫納（Hans Debrunner）指出，任何填充空間的四面體的 Dehn 不變量必須為０（與正立方體相同）。

綜合這些發現，我們知道四面體必須跟正立方體剪刀全等，才有可能填滿整個三維空間。

值得一提的是，給任意一個四面體，要計算其 Dehn 不變量是否為 0 是相對比較容易的事。但是反過來要找到 Dehn 不變量為 0 的所有四面體就沒那麼簡單。這就是第二個相關問題引進的理由。

二、康威-瓊斯的有理四面體問題

四面體的 4 個面都由三角形組成，每兩個平面會形成兩個互補的二面角 (反正互補所以可以只看其中一個)，有 6 條邊的四面體內部共有 6 個二面角。「有理四面體」就是指它的 6 個二面角與 180 度的比值都是有理數。

1976 年，約翰·康威（John H. Conway）和安東尼婭·瓊斯（Antonia J. Jones）好奇是否可以找出所有的有理四面體。

他們給出求解這個問題的一個方程式，現在稱為『康威-瓊斯方程式』，並認為這是可以解決問題的方法，但遲遲沒有人成功，直到最近數學家終於找到適當的方法利用電腦確定該方程式總共只有 59 個解。

滿足四面體內部都是有理角的關係式可以化成一道 17 項的方程式。但要直接解這道方程式是個高度複雜的任務，裡面有許多三角函數，因此，數學家試著用歐拉公式化簡，改以複數替代方程式裡的三角函數，但是，這樣一來會得到一個105 項六個變數的方程式！！在過去電腦的計算能力不足時也未能求解，直到 1995 年比約恩·龐恩（Bjorn Poonen）和邁克爾·魯賓斯坦（Michael Rubinstein）才用特殊方法代入求解，並找到了 59 組解。不過，這樣並不保證已經找出所有解答。而數學家多年來也無力回答是否還有其他解。

去年三月，龐恩聽了數論專家基蘭·凱德拉亞（Kiran Kedlaya）的一場演講【如何搜索多項式方程的單位根】之後，發現這就是他們過去卡住的地方，於是發信給凱德拉亞說：「你們的研究完全就是我們對付有理四面體所需要的東西啊！」

於是，合作就此展開。他們先用數百個更簡單的方程來表示原方程式，雖然多了一點但容易計算，因為搜尋簡單方程式的單位根比搜尋原方程的遠遠來得容易。方程間的對應關係，使得找到一個方程的根也有助於找另一方程的根，再用對稱性減少搜索範圍，順利讓運算量大幅下降。

電腦僅用幾小時的時間就跑完程式，確定康威－瓊斯多項式方程真的只有 59 個解。

對於想找多項式方程的單位根的數學家而言，他們這套新想法是一種有效的新方法。特別是，作者將複雜的康威－瓊斯多項式簡化為許多簡單的多項式的方法，可能可以應用於其他無法直接解決的困難多項式方程上，為數學界開闢一條新道路。

30 個大學生勝過一個諸葛亮

話說回來，任意一個有理四面體如果 Dehn 不變量為 0 的話，則意味著這個有理四面體與正立方體是剪刀全等，所以根據前述兩個關鍵定理說明這個有理四面體有機會填滿三維空間。注意哦，只是有機會而已。

最開始提到的 30 位 MIT 大學生與龐恩教授正在一起進行的工作，就是調查解開康威－瓊斯方程式所得到的 59 個有理四面體裡面，哪些是真正有機會能填滿空間的。

在今年 1 月中旬，研究團隊就發現並驗證了其中一個有理四面體並沒有辦法填滿空間。這個結果之所以受到重視，在於這是第一次有人發現四面體與正立方體剪刀全等卻沒有填滿空間的例子。故事尚未結束，還有沒有其他例子數學家們仍持續研究中…..

參考資料

1. Space vectors forming rational angles, Kiran S. Kedlaya, Alexander Kolpakov, Bjorn Poonen and Michael Rubinstein, https://arxiv.org/abs/2011.14232

2. Undergraduates Hunt for Special Tetrahedra That Fit Together, Kevin Hartnett, Quantamagazine.

3. Tetrahedron Solutions Finally Proved Decades After Computer Search, Kevin Hartnett, Quantamagazine.