【幾何】數學家終於找到名為「愛因斯坦」的地磚

最近， David Smith、Joseph Samuel Myers、Craig S. Kaplan 和 Chaim Goodman-Strauss 四位數學家聯手提出了數學界長期以來一個未解問題的解決方案，也就是非週期性單一地磚（也稱為「愛因斯坦地磚」）的存在。他們在論文中展示一個非週期性多邊形地磚，此地磚是由八個 60°-90°-120°-90° 箏形磚塊拼接而成的“帽子”形狀，進而用這些帽子和它的鏡像鋪砌平面，而不形成週期性密鋪。

跟物理學家愛因斯坦無關 

平面幾何學中，愛因斯坦問題想探討：『是否存在一塊地磚，它本身可以形成非週期性的密鋪平面』，也就是說，可以用這個形狀鋪砌平面，但只能以非週期性的方式進行鋪砌。這樣的形狀之所以被稱為「愛因斯坦地磚」，完全不關科學家愛因斯坦的事，而是取自德語 ein Stein 的雙關語，意為「一塊地磚」，蹭了一下當代科學大師愛因斯坦。 

愛因斯坦問題可以看作是著名的【希爾伯特的第18個問題】的自然延伸，該問題要找有沒有單一個多面體可以鋪砌三維空間，且密鋪空間模式是非等質的(anisohedral)。我們用 2 維的例子來討論鋪磚的等質性(isohedral)，也就是指在一個鋪磚中，所有的磚塊彼此之間是等價的，也就是說，任意兩塊磚塊之間都可以透過一個剛體運動使得它們重合，而整個鋪磚的結構也能夠被保持不變。直觀來說，任何兩塊磚的地位相等，站在哪一塊磚的地方看整個鋪磚狀況都一樣。 

然而，如果有一種磚塊可以被用來鋪滿平面，但它所形成的鋪磚結構不是等質的，那麼它就被稱為非等質的(anisohedral)。換句話說，這種磚塊不管怎麼旋轉、翻轉或是平移，都無法被重合起來，而形成的鋪磚結構也不能保持不變。

需要注意的是，這裡所提到的剛體運動包括平移、旋轉、鏡射和平移反射，這些運動可以將一塊磚塊移動到另一塊磚塊的位置上，從而構成等價關係。在三維空間中也有類似的概念，只不過涉及到的剛體運動方式可能會略有不同。

總之，等質鋪磚(isohedral tiling)是指所有磚塊彼此之間是等價的，而非等質鋪磚(anisohedral tiling)則是指存在某種磚塊形狀，使得無論如何都無法形成等質的鋪磚結構。

下圖這個例子，就是一種二維的等質鋪磚，從每一個五邊形的同一個方向看出去都一樣 (顏色的差別不算)。 

愛因斯坦問題跟希爾伯特第18個問題，有什麼關係?        

這是因為任何一種滿足希爾伯特說的等質鋪磚必然具有週期性；然而，反過來並不一定成立。換句話說，具有週期性的鋪磚未必是等質鋪磚。由這個性質知道，只要是非週期性的鋪磚勢必就是非等質的，因此，非週期性的鋪磚又比非等質鋪磚難找。

希爾伯特的預設立場        

Grunbaum 和 Shephard 認為這個問題僅在三維空間中被提出是因為希爾伯特的預設立場是平面中不存在非等質地磚。既然如此，當然就更不用提非週期性地磚。但 1928 年，曾擔任希爾伯特研究助理的 Reinhardt 成功解決了希爾伯特第 18 個問題，在三維中找到非等質多面體的同時，並且宣稱他能夠證明二維裡面真的沒有這種東西。 

不過，他宣稱的證明卻遲遲不見蹤影。 

一直到 1935 年，針對『二維不存在非等質多邊形鋪磚』的傳說，被同是德國數學家的 Heesch 一拳給粉碎了，Heesch 竟然找到一種非等質多邊形鋪滿整個平面。經過數十年下來，現在已經有許多非等質磚塊被發現了，做出貢獻的人之中有數學家、上班的電腦工程師、讀研究所的學生，還有未接受過正統數學專業教育的家庭主婦......精彩故事請參考《發現凸五邊形鋪磚的第 15 型》一文。 

 但問題是，上述這些非等質地磚都必須以週期性重複的方式鋪砌整個平面。 

潘洛斯鋪磚

在此之前，最好的紀錄是由榮獲諾貝爾物理學獎的羅傑潘洛斯所保持。潘洛斯鋪磚 (Penrose tiling) 是指由兩個簡單的幾何形狀，當並排放置時，它們能以沒有間隙或重疊的方式覆蓋整個平面，並且不會出現周期性重複 (如下圖)。要注意的是，文獻中討論的非週期性和單一磚塊的定義有時略有不同，這裡的 「非週期性重複」 指的是將整個平舖在不旋轉的情況下移動任意有限距離後，絕不會產生相同的模式。

有趣的是，以英國數學物理學家羅傑·潘洛斯命名的潘洛斯鋪磚具有五重旋轉對稱性，與五角星表現出的對稱性相同。就是說你將整個圖塊圖案旋轉 72 度後，看起來和原始的一樣。

在潘洛斯發現之前，大多數科學家都認為不可能找到具有五重對稱性的晶體，但此後便發現了類似於潘洛斯平舖圖案的準晶體，而且還具有很好的特性，例如，熱傳導差，此特性可用來作光滑的不黏塗層。在 1980 年代初期，開始有科學家懷疑某些晶體的原子結構可能是非週期性晶格。在 1982 年，以色列材料科學家謝赫特曼（Dan Shechtman）在電子顯微照片中發現了一種鋁錳合金的非週期性結構，具有明顯的五重對稱性，這也讓人聯想到潘洛斯鋪磚。

一件有趣的事情是，潘洛斯曾經在 1997 年對一家英國公司提起了版權訴訟，理由是該公司涉嫌在衛生紙上壓印潘洛斯平舖的圖案。

不過，在 2007 年時，兩位研究人員在《科學 Science》發表了中世紀伊斯蘭藝術中一種類似潘洛斯平鋪的證據，比潘洛斯早了 500 年。

潘洛斯鋪磚是由 2 種地磚構成，對於哪些形狀可能是或者不是非週期性單一地磚，目前所知甚少。法國數學家 Rao 在 2017 年通過電腦輔助，確認目前已知的 15 種密鋪平面的凸五邊形家族就是全部了，這個發現也進一步排除了凸多邊形裡面有非週期性單一地磚的僅存可能性(其他凸多邊形早就確定沒有了)。 

對稱性破壞的美  
找到一個非週期性單一地磚的意義在於，它打破了一個數學界長久以來的未解問題，也就是所有的平面鋪砌必須是週期性或重複性的猜想是錯的。這個問題也涉及到其他領域，比如晶體學、計算機科學，以及空間設計與建築領域的美感。誠如在台科大建築系任教的朋友所說：『能用少數單元表現出不循環的造型，這在美感的追求上也是個里程碑。我很喜歡的一個說法是，美感來自對稱性，與對稱性的破壞。』

他們的論文不是只有畫出這個美麗的形狀就沒事了，還用了八十幾頁的篇幅證明這個形狀確實符合所有要求的規範，儘管這篇 arXiv 上的論文仍必須等待同行審查後才會正式出版，得知這個重大進展的消息還是令許多數學家感到興奮，因為發現非週期性的單一地磚顛覆了我們對平面對稱性和圖案的理解，也開啟了新的研究方向和挑戰。