【幾何】

發現凸五邊形鋪磚的第 15 型

張貼日期：Aug 16, 2015 2:10:6 PM

作者：陳宏賓 副教授（國立中興大學應用數學系）

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大衛希爾伯特的第 18 個問題

在上個世紀之初，1900 年在巴黎舉辦的國際數學家大會(ICM)上，德國大數學家大衛希爾伯特 David Hilbert 提出了 23 個當代最有影響力的數學難題，其中第 18 個難題裡面問了這樣一個關於 3 維空間填充多面體的問題:

Whether there exists an anisohedral 3D tile?

翻成中文就是

是否存在一種「非等質多面體」能夠填滿整個 3 維空間呢?

用 2 維的例子來說明 anisohedral 非等質：(感謝中研院李國偉老師提供 anisohedral 的中譯，以及解說)

我們現在關心的鋪磚（tiling）只用一種基本的多邊形磚塊（tile），因此兩塊磚塊之間，一定能夠有一個剛體運動（利用平移、旋轉、鏡射、平移反射構成），把其中一個對應到另外一個之上（也就是重合），但是此時整個鋪磚的其他地方不一定磚磚相合。假使說有一個適當的剛體運動，不僅把原來一磚對應到另一磚，而且所使用的剛體運動，會保持整個鋪磚的結構，那就說原來兩塊磚是遞移等價（transitively equivalent）。在這種等價關係之下，如果鋪磚的等價類只有一個，就叫做 isohedral tiling。直覺的意思是說任何兩塊磚的地位相等，站在哪一塊磚的地方看整個鋪磚狀況都一樣。

如果一個磚塊雖然可以用來鋪滿平面，但是它造成的任何鋪磚都不是「等質的」，則稱為 anisohedral「非等質的」。在 3 維的概念也是類似的，差別在於剛體運動的方式而已。

下圖這個例子，就是一種 2 維的等質鋪磚，從每一個五邊形的同一個方向看出去都一樣 (顏色的差別不算)。

Cairo Pentagonal Tiling

credit by R. A. Nonenmacher

打臉

當時希爾伯特跳過 2 維直接問 3 維的主要理由，是他壓根兒認為 2 維的鋪磚 (tiling) 必定是很規律的，是不可能存在非等質的凸多邊形能夠鋪滿整個平面。1928 年，曾擔任希爾伯特研究助理的 Karl Reinhardt 解決了第 18 個問題。除了找到了 3 維的非等質多面體，並且宣稱他能夠證明 2 維 真的沒有 非等質多邊形，不過他宣稱的證明卻遲遲不見蹤影。(像這種~~嘴砲的~~情況，筆者自己也幹過好幾次，最後都是被打臉的情況收場，要嘛自己打，不然就是被合作者打，已哭。不過，筆者要在這裡強調，在數學世界裡猜測一下跟在公堂之上假設一下是沒啥兩樣的，不只無罪，猜錯也是非常稀鬆平常的事。因此，這裡雖然用了"打臉"兩字，但其實只是在陳述一件被指正的事實，不具有任何貶抑的意味，請各位網友不要肉搜我，筆者心裡也是很尊敬這幾位大師的。)

在研究 2 維的過程之中，Reinhardt 提出了一些等質五邊形鋪滿整個平面，依據角度和邊長的條件分類，共有 5 種型態，現在稱為 Type 1 到 Type 5，而且這 5 種都是凸的 (convex)，意思就是內部任意兩點的連線都還在內部，他相信能夠鋪滿整個平面的凸五邊形，就必定滿足這 5 種型態 (注意: 同一種型態可能會有多種五邊形哦)。

一直到 1935 年，針對 2 維不存在非等質多邊形鋪磚問題的看法，同是德國的數學家 Heinrich Heesch 跳出來狠狠打了希爾伯特和 Reinhardt 的臉給了一個 2 維的反例，Heesch 竟然找到一種非等質多邊形鋪滿平面。

Heesch's anisohedral tiling

by David Eppstein

上圖就是 Heesch 找到的非等質多邊形，很明顯不是凸的。此外，上面這種鋪法雖然可以鋪滿整個平面，不過仔細一看會發現，紅色和藍色的磚雖可以用鏡射使之重合，但重合後其他周邊的磚就無法兩兩密合，所以不算是等質鋪磚；另一方面，Heesch 證明只用這個多邊形要鋪滿整個平面必定沒有等質鋪磚的方式，震撼了當時所有數學家原本的想像!!!

原來，非等質多邊形填滿整個平面是有可能的阿阿阿!

Heesch 的意外發現讓數學家們開始懷疑，Reinhardt 說的「凸五邊形鋪磚只有 5 個 Type」，到底是有影無?

結果，1968 年 Kershner 發現了新的三種凸五邊形鋪磚型態 (Type 6 到 Type 8)，針對凸五邊形鋪磚問題又打了一次 Reinhardt 的臉。

Reinhardt 的OS: 哩供蝦秘?!! 居然還有 Type 6、Type 7 和 Type 8~ iPhone 也才快出 6S 而已阿!!!

不過顯然打人臉的 Kershner 並沒有學乖，同樣宣稱「這 8 型就是全部，沒有其他的了! 」。幾年後(1975)，人稱葛老爹，專門寫數學益智遊戲專欄的美國知名作家馬丁加德納 Martin Gardner 在其《科學美國人》專欄 Mathematical Games，大力的宣傳這個有趣的問題和進展，引起了許多人的注意和廣泛的討論。其中包含了專業的數學家(這不意外)，和一些業餘的數學愛好者。

一個令人跌破眼鏡的家庭主婦

首先，在葛老爹的專欄刊出之後，一位名為 Richard James III 的電腦科學家讀了專欄，決定先不去看 Kershner 列出來的 8 種型態，打算自己徒手畫畫看能夠找出幾種，他從一種大家熟知的由八邊形和正方形組成的鋪法著手，發現八邊形從中心點畫兩條互相垂直的直線，就能夠切開成為 4 個相同的五邊形，然後再經由適當的努力和調整，終於找到了一種新的形態 (Type 10)。這時 Kershner 的臉也腫了，Reinhardt 的就更腫了。

Marjorie Rice (左)

同一時間，Marjorie Rice，一個住在加州的家庭主婦，只有 35 年前學過高中數學的程度，可以說是沒有接受過正式的數學訓練，也讀了葛老爹的數學專欄，並且開始嘗試做這個平面鋪磚問題。結果就是，出人意料地，她一個人發現了四種新的型態 (Type 9，Type 11 到 Type 13)，除了 Kershner 和 Reinhardt 的臉慘不忍睹之外，也令許多數學專家的眼鏡碎得一蹋糊塗，那時是 1978 年左右。(要是之後哪天有人因為讀了 UniMath 的文章，開始鑽研某個數學問題，最後得到了震驚數學界的發現，那在下肯定是與有榮焉阿，不過買新眼鏡的錢我可是不會負責，哈!) 不久之後，一位德國的研究生 Stein 發現了第 14 種(1985)。

暴風雨前的寧靜

自從 1985 年之後，雖然有些不錯的進展，但不再有新的型態被發現，一時風起雲湧的競逐，隨著時間過去，逐漸地風平浪靜。然而，在數學的世界裡，在還沒有人能夠證明真的就只有這 14 種型態之前，眼前的風平浪靜，可能僅僅只是暴風雨前的寧靜，或者正處在颱風眼，等待著下一波風暴的來臨。

一直到 2015 年 7 月 29 日，一個來自 University of Washington Bothell 的三人團隊 Casey Mann、Jennifer McLoud 和 David von Derau，寫程式用電腦輔助計算，找到了第 15 種型態! 其中 Jennifer McLoud 和 Casey Mann 是夫妻，而 David von Derau 是 Mann 的學生。

Type 15

from http://www.jaapsch.net/tilings/#pentagon

他們的結果主要是依賴兩個定理限縮電腦搜尋的範圍:

一個是 1985 年 Hirschhorn 和 Hunt 證明的

All equilateral convex pentagons that tile the plane are among Types 1-14.

另一個是 2004 年 O. Bagina 證明的

All convex pentagons that admit edge-to-edge tilings of the plane are among Types 1-14.

綜合以上，他們將搜索範圍限制到非等邊 (non-eqauilateral) 的凸五邊形並且只能夠用非邊對邊 (non-edge-to-edge) 的鋪排方式。

根據 Casey Mann 本人證實，用程式來做這個問題才剛剛開始不久，自己也沒想到這麼快就找到新的型態，相信之後可能很快會有其他未知的新型態被找出來。

平息多年的平面鋪磚問題，就像一潭清澈無波的湖水，而 Mann 團隊的新發現投下了一顆震撼彈，即將引起幾何學界的波瀾。你，也準備要挑戰了嗎?

後記

怎麼都只有討論五邊形鋪磚呢?

因為任意三角形和四邊形，都能夠鋪滿平面；此外，凸六邊形鋪磚也已經有完整的刻畫，而七邊以上被證明是不可能了，因此，留下來的問題就只有凸五邊形。即使今天找到了新的第 15 型，也仍無法確定是否就是全部，唯一能夠確定的，是接下來的日子幾何學家還有得忙呢。

［最新消息 2017 年 7 月］

凸多邊形的平面鋪磚問題完全解決了！一位年輕的法國數學家 Michaël Rao 用電腦輔助證實了目前已知的 15 種凸五邊形是僅有的 15 種。同時，他也解決另一個非循環密鋪的問題。他的論文還在審查中，不過一位擅長用電腦輔助數學證明的重量級人物已經幫他的正確性背書，那就是解決克卜勒猜想（三維中球體裝填問題）的數學家黑爾斯。

另外，有一個令人遺憾的消息是，為凸五邊形鋪磚問題增添許多話題性的數學素人 Marjorie Rice 已經在稍早前 7 月 2 日離開這個世界，高齡 94 歲。在僅有的 15 種密鋪平面的凸五邊形中，令人跌破眼鏡的她就貢獻了 4 種。