התשובה היא: 997

כל הכבוד לכל מי שהשקיעו בפתרון ובנימוק ושלחו אלינו את תשובותיהם!

יהונתן, תלמיד התוכנית בקבוצת ו׳ ראשון לציון, עבר צעד צעד, וגילה מהן הספרות האפשריות בכל משבצת, עד שהצליח למלא את כל הלוח:

דבר ראשון הבנתי שספרת האחדות של C ו-F היא אותה ספרה, והיא יכולה להיות או 0 או 5 בלבד (כי F צריך להיות פי 3 מ-C וגם ספרת האחדות שלהם).

כשניסיתי להכניס את 0 לספרת האחדות הבנתי שכל ספרות העשרות של C, E ו-F חייבות להיות 0 (כי אם ספרת האחדות של C היא 0, אז גם ספרת האחדות של B חייבת להיות 0, כי B פי 2 מ-C, והספרה הזאתי היא בעצם ספרת העשרות של F אז גם ספרת העשרות של C חייבת להיות 0). במצב כזה, לא יכול להיות סכום ספרות של E 19.

עכשיו ניסיתי את הספרה 5, אם 5 היא ספרת האחדות של C ו-F אז ספרת האחדות של B (שהיא פי 2 מ-C) חייבת להיות 0, עכשיו יוצא שספרת העשרות של C חייבת להיות 3 (כי רק 3*35 יכול להיות תוצאה של מספר תלת ספרתי שספרת האחדות והעשרות שלו הם 05).

עכשיו ספרת המאות של C לא יכולה להיות 1 כי אז ספרת המאות של B תהיה 2 ולא נצליח להגיע לסכום ב-D של 15. גם בלתי אפשרי להכניס לספרת המאות של C את המספרים 3 ומעלה, כי כשנכפיל אותם ב-3 הם לא יהיו מספר תלת ספרתי ויהיו יותר גדולים מ-1000. לכן ספרת האחדות של C חייבת להיות 2.

אז יוצא ש-C שווה ל-235, B (פי 2) שווה ל-470, F (פי 3) שווה ל-705, E יהיה 973 (סכום ספרות 19), ו-D יהיה 942 (סכום ספרות 15). יוצא ש-A יהיה שווה ל-997.

_________________________

יואב, תלמיד התוכנית מקבוצת ו׳ בלמידה מקוונת, התחיל מלהבין מהן האפשרויות עבור מספר F, ומשם התחיל לצמצם את האפשרויות לפי הרמזים עד שנשאר עם פתרון אחד בלבד:

המספר F=3×C ולכן מספר C בין 100 לבין 333, ו-F מספר גדול מ-300.

בנוסף, הסיפרה של היחידות של F ו-C משותפת ולכן הספרה יכולה להיות או 0 או 5.

B=2×C ולכן הספרה של היחידות של B תהיה 0.

מכאן, ניתן לצמצם ל14 אפשרויות עבור מספר F:

[כאן יואב פירט את כל המספרים התלת-ספרתיים הגדולים מ-300, שספרת העשרות שלהם היא 0 וספרת האחדות היא 0 או 5]

מכיוון ש-F מתחלק ב-3, אז מצמצמים ל-5 אפשרויות: 300 / 600 / 900 / 405 / 705

עבור כל אחת מהאפשרויות האלה, ניתן לחשב את מספר C וגם את מספר B:

(B,C,F): (200,100,300), (400,200,600), (600,300,900), (270,135,405), (470,235,705)

יודעים שסכום הספרות של מספר E שווה ל-19. E מורכב מהספרות האמצעיות של B ושל C ומעוד ספרה.
לכן 3 האופציות הראשונות פסולות כי סכום של 2 הספרות האמצעיות שווה ל-0 והספרה השלישית קטנה או שווה ל-9 ולא מגיעים לסכום של 19.

בשתי האפשרויות שנשארו: הספרות האמצעיות הן 7 עבור B ו-3 עבור C ולכן הספרה של המאות במספר E היא 9.

(270,135,405), (470,235,705), וגם E=973

על אותו היגיון, יודעים שסכום הספרות של מספר D שווה ל-15.

D מורכב מהספרות הראשונות של A, B ו-C.

באפשרות הראשונה, סכום הספרות הראשונות של B ו-C שווה ל-3 ולכן לא ניתן להגיע ל15.

באפשרות השנייה, הסכום הוא 6 ולכן הספרה הראשונה של A היא 9.

C=235, B=470, F=705, E=973, A=997

כך הגעתי לפתרון 997.

_________________________

טליה, תלמידת התוכנית מקבוצת ו׳ מודיעין, גם הצליחה להוכיח שהספרה הימנית התחתונה חייבת להיות 5 (ואף הוכיחה בדרך מקסימה מדוע זו התשובה האפשרית היחידה), ומשם התגלגלה עם הרמזים לעבר הפתרון:

F=3×C והספרה האחרונה של C ושל F זה אותה ספרה לכן את צריכה למצוא מספר שכפול 3 מסתיים באותה ספרה. יש רק 2 אפשרויות: 5 או 0 (3×5=15, 0×3=0).

עכשיו נוכיח שזה לא יכול להיות 0:

אם נניח ש-C מסתיים ב-0 אז B ששוה 2C גם מסתיים ב-0. ואז F מסתיים בשני אפסים. אם F מסתיים בשני אפסים אז גם C וגם B. אם זה המצב אז בעמודה האמצעית E גם מסתיים בשני אפסים וסכום של שני אפסים ועוד ספרה לא יכול להיות שווה 19. לכן המספר האחרון שווה 5.

אם C מסתיים ב-5 אז B מסתיים ב-0 כי B=2C. אם כך, אז 2 הספרות האחרונות של F הן 05. אמרנו ש: F=3C לכן F צריך להתחלק ב-3. אז F יכול להיות שווה 105, 405 או 705.

עכשיו יש רק 3 מקרים שנדרש לבדוק:

אם F=105 אז C =035 ו B=070 בלתי אפשרים כי אז D מסתיים ב-00 ולכן הסכום של 3 הספרות שלו לא יכול להיות שווה 15.

אם F=405 אז C=105 ו B=210 בלתי אפשרים כי אז D מסתיים ב-21 ולכן הסכום של 3 הספרות שלו לא יכול להיות שווה 15.

אם F=705 אז C =235 ו B=470 אז D שווה 942 (9+4+2=15), ו- E= 973,(כי 9+7+3=19) ולכן A=997.

_________________________