התשובה היא: 2109

תמר, תלמידת התוכנית בקבוצת ז' בבר אילן, כתבה את התרגילים במאונך, התמקדה בנשא, ותיארה יפה את המסקנות שהגיעה אליהן בדרך:

"1) הבנתי שיש נשא שונה בעמדות העשרות והמאות (בכל עמודה), כי כל פעם מספר האחדות שמתקבלת שונה.
2) הנשא יכול להיות או 1 או 2, כי אם הוא יהיה 0 נקבל תוצאה כמו בעמודת האחדות ונקבל מספר שונה.
3) אם הנשא הראשון יהיה 2, אז הנשא הבא גם יהיה 2 כי התוצאה הכי גדולה שאני יכולה לקבל מ-3 ספרות שונות (9+8+7) היא 24.
4) ואז הבנתי שהנשא הראשון הוא 1.
5) כדי שהנשא הבא ישתנה, הבנתי שסכום התרגיל א+נ+י חייב להיות 19 או 9 כי יש לנו נשא של 1 והוא משנה את הנשא שעובר.
6) אם הסכום היה 9 לא היה נשא בכלל לכן רק 19 יכול להיות הסכום. עכשיו כשאני יודעת כמה שווה א+נ+י, חישבתי מה שווה חמוד.
ח=9, מ=0 כי זה האחדות בתרגיל 19+1, ו=1 כי זה האחדות בתרגיל 2+19, ד= 2 כי זה הנשא שעבר לספרת האלפים."

_________________________

גם מאיה, תלמידת התוכנית בקבוצת ו' בבר אילן, גילתה איך להשתמש בנשאים כדי למצוא את התשובה, ומצאה את הפתרון מתוך ניסוי וטעייה מושכל:

"בהתחלה ניסיתי לפתור את התרגיל עם המספרים: א-5, ת-6, ה-4, נ-7, י- 3. התוצאה שהתקבלה היא: 1665. הבעיה הייתה שהאותיות מ׳, ו׳ היו אותה הספרה. ניסיתי לפתור את התרגיל עם רצף אחר של ספרות ושוב הייתה אותה הבעיה.

הסתכלתי על התרגילים ומצאתי שהספרה שעולה למעלה בשני הטורים 2 ו-3 היא 1 ולכן טורים אלה הם בעצם אותו התרגיל. 

הבנתי שכדי שהספרות שהיו למעלה יהיו שונות צריך שהתוצאה בטור 1 תהיה 19, האחד יעלה למעלה לטור 2. והתוצאה של טור 2 תהיה 20, השתיים יעלה למעלה לטור 3. והתוצאה של טור 3 תהיה 21 והמספר המתקבל יהיה 2109."

_________________________

עידו, תלמיד התוכנית בקבוצת ו' בהוד השרון, החליט לפרק את התרגיל לשלושה תרגילים שונים, והבין איך ׳אותו התרגיל׳ יכול לקבל תוצאות שונות, גם בעזרת כוח הנשאים:

"אנחנו יודעים שספרת האחדות של א+ת+ה=ח.
חוץ מזה, א+ת+ה חייבים להיות שווים לסכום הגדול מ-9 מכיוון שאם לא, אף מספר לא "יעבור" לתרגיל הבא, ואז היה יוצא שוב א+ת+ה=ח ולא א+ת+ה=מ.

בשלושה תרגילי חיבור שנראים זהים, יוצא שמקבלים 3 תוצאות שונות (של ספרת האחדות):
א+ת+ה = ח
א+ת+ה +העברה מהתרגיל הקודם = מ
א+ת+ה +העברה מהתרגיל השני = ו.

מכיוון שכל אות חייבת להיות מספר שונה בין 0-9 הסכום הגדול ביותר שאפשר להגיע אליו בחיבור של שלוש אותיות הוא 24. לכן ספרת העשרות ש"מעבירים" יכולה להיות רק 1 או 2.

ההעברה מהתרגיל השני לא יכולה להיות יותר קטנה מההעברה מהתרגיל הראשון (כי א+ת+ה+ההעברה בטוח לא יותר קטן מא+ת+ה).
אם ככה, ההעברה מהתרגיל השני היא 2, ומהתרגיל הראשון היא 1
זה אומר שא+ת+ה=19 ואז בתרגיל השני 1+א+ת+ה=20. כלומר ח=9, מ=0. ואז בתרגיל השלישי 2+א+ת+ה=21. כלומר ד=2, ו=1

_________________________

אלמוג, תלמיד התוכנית בקבוצת ו' בראש העין, נעזר באביו ויחד הם הבינו שהתוצאה חייבת להיות כפולה של 111, והשתמשו בשיטה יפה שהכירו לחישוב כפולות של 111 כדי למצוא אותה:

 "התשובה קצת ארוכה אבל היה לי ולאבא ממש כיף לחשוב עליה.

מספר בעל 3 ספרות זהות הוא בעצם 111 כפול ספרה.

מכיוון שהאותיות שונות בין כל מספר שאנחנו מחברים, אז התוצאה הכי גדולה שאפשר להגיע אליה היא 9+8+7 שזה בעצם 24 כפול 111.
המספר הכי קטן הוא 1+2+3 שזה 6 כפול 111.
התוצאה שאנחנו מחפשים היא מספר בעל 4 ספרות, שכל הספרות שלו שונות וגם שכל הספרות שלו אינן מהספרות שחיברנו.
אנחנו יכולים לשלול את זה שסכום המספרים המחברים יהיה קטן מ 111×9 שזה 999, כי מספר הספרות יהיה רק 3.
נשארנו עם הסכומים 10 עד 24.

אני מכיר שיטה נחמדה לחשב מהר כפולות של 111 עד המספר 100:
כל מספר שנכפיל אותו ב 111 ושסכום הספרות שלו קטן מ 10, יהיה שווה לספרה השמאלית של המספר, שתי הספרות האמצעיות יהיו 11 כפול סכום הספרות של המספר ובסוף הספרה הימנית של המספר.
למשל 111×23=2553. בכל המקרים שתי הספרות האמצעיות יהיו זהות ולכן אלה לא יכולים להיות התוצאה שלנו.
במקרה שבו כופלים 111 במספר שסכום הספרות שלו שווה ל 10 (או יותר) צריך להתחשב בנשא.
לכן אם נכפיל את 111×19 לפי השיטה נקבל 1109, אבל נצטרך להזיז את ה 1 של העשר שמאלה ונקבל 2109.
במקרה הזה אין לנו ספרות זהות.

מבין המכפלות 10 עד 24, 19 היא המכפלה היחידה שסכום הספרות שלה הוא 10 או יותר, ולכן התוצאה היא: 2109.

_________________________