אמיר:
"מאיה, שמעתי השבוע על סוג חדש של מספרים. אלו מספרים שאפשר לכתוב כסכום של שני מספרים אחרים, כל אחד מהם בחזקת שלוש. נגיד המספר 9 הוא מספר כזה, כי:

1³+2³=1+8=9

זה גאוני נכון?"

מאיה:
"זה באמת מגניב, אבל למה גאוני?"

אמיר:
"אה, שכחתי לספר שלא סתם שמעתי על המספרים האלה. יש איזה בחור, קראו לו רמנוג'אן, שהיה מתמטיקאי הודי ממש חכם. הוא גילה שיש מספר מיוחד שהוא המספר הכי קטן שאפשר לכתוב אותו כסכום כזה בשתי דרכים שונות! המספר הזה הוא 1729. הנה, תראי:

12³+1³=1728+1=1729

10³+9³=1000+729=1729

עכשיו, זה מגניב, לא?"

מאיה:
"אתה יודע, אמיר? אם כבר העלת את הנושא, נכון שכשאנחנו מעלים מספר בחזקת 2 זה כמו לחשב שטח ריבוע שהצלע שלו באורך של המספר? אז כשמעלים מספר בחזקת 3 זה כמו לחשב נפח של קובייה שהצלע שלו באורך המספר. אז אפשר להגיד שהמספרים האלה בעצם נוצרו מסכום של שתי קוביות."

אמיר:
"מגניב ממש! אז בואי נקרא לכל מספר כזה 'מספר קוביותיים', כי הם מורכבים מ*שתי קוביות*."

מאיה:
"אני אוהבת את זה! אני יכולה לחשוב על הרבה מספרי 'קוביותיים'. למשל:

1³+2³=9

2³+3³=35

אבל אני מבינה למה הם פחות מיוחדים מ-1729, כי אפשר לכתוב אותם ככה רק בדרך אחת.

היי, למה שלא נהפוך את זה לחידה שלנו?"

אמיר:
"רעיון טוב. אבל רמנוג'אן כבר פתר אותה. הוא כבר מצא את המספר 'קוביותיים' הקטן ביותר שאפשר ליצור ביותר מדרך אחת."

מאיה:
"אתה צודק, אבל רמנוג'אן השתמש רק במספרים *טבעיים*, כלומר שלמים וחיוביים, כדי ליצור מספרי 'קוביותיים'. למה שאנחנו לא נשתמש בכל קבוצת המספרים *השלמים*? מעכשיו מותר להשתמש גם במספרים שליליים!"

אמיר:
"נשמע מעניין! אני הרי יודע שאם מעלים מספר בחזקת 3 (או בכל חזקה אי-זוגית) התוצאה נשארת עם הסימן המקורי – מספר שלילי בחזקת שלוש נשאר שלילי, כמו שמספר חיובי בחזקת שלוש נשאר חיובי. אז בואי ננסה, ניקח למשל את 4 ואת מינוס 2: ארבע בחזקת שלוש זה 64, מינוס 2 בחזקת שלוש זה כמו 2 בחזקת שלוש רק במינוס, אז מינוס 8. 64 ועוד מינוס 8 זה 56. אז 56 הוא גם מספר 'קוביותיים'?"

מאיה:
"אני חושבת שכן! ואם קודם המספר הכי קטן שאפשר להגיע אליו בשתי דרכים היה 1729, אני חושבת שהצלחתי להגיע ל-0 בצורה הזו!

תראה, אם ניקח את 1 ואת מינוס 1, נקבל 1 פחות 1 שזה 0. גם 2 ומינוס 2 נותנים 8 ומינוס 8 שיחד הם 0. גם 3 ומינוס 3, וכן הלאה וכן הלאה. כלומר, 0 הוא מספר שאפשר לכתוב באינסוף דרכים כסכום קוביות של שני מספרים שלמים, אם משתמשים בשני מספרים נגדיים - אחד חיובי והשני שלילי!"

 אמיר:
"רגע… כמו שאפשר להרכיב את 1729 משתי קוביות ביותר מאשר דרך אחת - אפשר לעשות את אותו הדבר עם מינוס 1729!"

 מאיה:
"אתה צודק! אם נהפוך את כל המספרים לשליליים:

(-12)³+(-1)³= -1729

(-10)³+(-9)³= -1729

אז אנחנו יכולים למצוא לא רק מספרי 'קוביותיים' חיוביים, אלא גם מספרי 'קוביותיים' שליליים. בעצם לכל מספר 'קוביותיים' חיובי, גם המספר הנגדי שלו הוא 'קוביותיים' ולהיפך.
אז אולי יש מספר 'קוביותיים' עם שתי הצגות שונות שהוא יותר גדול מ-1729? ואם כן אז..."

 אמיר:
"אז זה אומר בעצם שאין גבול כמה נמוך אפשר לרדת! אפשר למצוא מספרים שליליים קטנים ככל שנרצה שהם 'קוביותיים' בשתי דרכים שונות!"

מאיה:
"נכון, אז סתם לחפש מספר כזה שהוא הכי קטן לא יעבוד... אז כדי שהחידה תהיה הוגנת - אנחנו נחפש תשובה שהיא גדולה מ-0."

אמיר:
"מעולה! אז החידה האמיתית היא: מהו המספר החיובי (גדול מ-0) הכי קטן שאפשר להציג אותו כסכום קוביותיים בשתי דרכים שונות... ושלא כמו רמנוג'אן - אצלינו מותר להשתמש בכל המספרים השלמים (גם השליליים)"

________________

מוזמנות ומוזמנים לפתור את החידמטיקה בתמונה המצורפת.