חידמטיקה #10 - מרוב משולשים לא רואים את הדף

אמיר:
"תראי מאיה,
כל שלוש נקודות שנפזר על הדף ונחבר ביניהן קווים ייצרו לנו משולש"

מאיה:
"אני לא בטוחה שזה נכון, אמיר.

אם נשים, למשל, 3 נקודות בשורה כך שהן יהיו על אותו הקו,

לא נצליח ליצור אף משולש."

אמיר:
"אוקי, צודקת.

אבל אותי יותר מעניין מה יקרה אם נוסיף עוד נקודה,

כמה משולשים נוכל ליצור עכשיו..."

מאיה:
"כמה משולשים? בוא נראה... אם נשים 4 נקודות נוכל לחבר אותן למרובע,

בוא ניצור מעויין למשל, ונעביר אלכסון כדי לקבל שני משולשים.

אם אנחנו לא רוצים שצלעות יחתכו אחת את השנייה (כי אז בעצם ניצור עוד צמתים ונקודות)

אז אני חושבת שאין יותר קווים שאפשר לצייר."

אמיר:
"רגע, אני הצלחתי ליצור שלושה משולשים! אם נשים את הנקודה החדשה במרכז של שלושת הנקודות,

נחבר אותה לכל אחת מהנקודות שמסביבה,

נחלק בעצם את המשולש הגדול שלנו לשלושה משולשים קטנים!"

מאיה:
"ויש עוד את המשולש הגדול,

אז אפשר להגיד שהצלחנו ליצור 4 משולשים מ-4 נקודות."

אמיר:
"אה, נכון מאוד!

ואני חושב שמצאתי דרך להרכיב הפעם רק שלושה משולשים, כולל הגדול – אם נמקם את הנקודה החדשה לא במרכז שלושת הנקודות הקיימות, אלא ממש על אחת הצלעות של המשולש הגדול.

ככה נחלק אותו לשני משולשים קטנים,

שירכיבו ביחד את המשולש הגדול."

מאיה:
"אז השאלה האמיתית היא איך לפזר את הנקודות על הדף.

אנחנו יכולים לשים נקודות בתוך משולש קיים, או מחוצה לו, או אפילו על אחת הצלעות...

זה יכול להיות הניסוי המתמטי שלנו!

מעניין כמה משולשים אפשר ליצור באמצעות... אממ... 30 נקודות!

כל עוד הקווים שמחברים ביניהן לא חותכים זה את זה."

אמיר:
"אז השאלה היא כמה שלשות כאלה אפשר לקבל מתוך 30 נקודות?

זה נשמע כמו בעיה קומבינטורית…"

מאיה:
"לא בדיוק... כי לא כל שלוש נקודות שבוחרים באמת מחוברות!

משולש קיים רק אם שלוש הנקודות מחוברות בשלוש צלעות, ואנחנו לא יכולים לחבר קווים סתם כך אם הם חותכים צלעות אחרות.

אז בעצם חוץ מאיך לפזר אותן על הדף, מעניין גם בין אילו נקודות כדאי לנו לחבר"

אמיר:
"אם נשים אותן במעגל, למשל, ונחבר אותן באופן מסודר...

רגע, בעצם, בכל פעם שאנחנו מוסיפים נקודה, היא יכולה ליצור עוד משולשים עם מה שהיה קודם!"

מאיה:
"בדיוק, ולכן אולי צריך לחשוב איך להוסיף נקודות וצלעות בצורה הכי יעילה,

שתוסיף לנו הכי הרבה משולשים.

אולי אפילו נמצא תבנית – משהו שמתאר איך מספר המשולשים גדל ככל שמוסיפים נקודות..."

אמיר:
"או לנסות לבנות כמה דוגמאות עם מספרים קטנים ולראות מה קורה…"

מאיה:
"יאללה, אמיר, תתחיל לצייר! בוא ננסה עם 4, 5, 6 נקודות ונראה לאן זה מוביל אותנו."

אמיר:
"מעולה.

ואם במקרה הדף יתמלא בקווים ונגיע למסקנה שהתשובה לניסוי הוא כאב ראש טהור –

אז אני מזמין לי שמונה משולשי פיצה."

________________

מוזמנות ומוזמנים לפתור את החידמטיקה בתמונה המצורפת.

מה התשובה? (לחצו כאן כדי להציג)

התשובה היא: 784

כל הכבוד לכל מי שהשקיעו בפתרון ובנימוק ושלחו אלינו את תשובותיהם!

איתן, תלמיד התוכנית בקבוצת ו' בהוד השרון, בדק מספר נקודות קטן, מצא את החוקיות של מספר המשולשים וכך יכול היה לחשב בקלות את התשובה גם עבור מספר גדול של נקודות:

"תחילה נעזרתי ברמז של מאיה וניסיתי למצוא חוקיות אצל 6,5,4 נקודות ולהשתמש בה עבור 30 נקודות.
עם 4 נקודות אפשר להגיע לכול היותר ל-4 משולשים.
עם 5 נקודות אפשר להגיע לכול היותר ל-9 משולשים בכך ששמים את הנקודה מתחת לנקודה האמצעית.
עם 6 נקודות אפשר להגיע לכול היותר ל-16 משולשים עם אותה חוקיות של 5 נקודות.
מכאן הבנתי שהחוקיות היא מספר הנקודות פחות 2 ואת התוצאה מעלים בריבוע. לכן ל-30 נקודות נקבל 2^(30-2)=784.

התוצאה היא 784."

_________________________

יונתן, תלמיד התוכנית בקבוצת ו' בזכרון יעקב, חקר ומצא את החוקיות, ולאחר מכן נעזר ב-GPT באופן מושכל כדי להגיע אל הפתרון המספרי:

"קודם כל התחלתי לראות אם אני אוסיף כל נקודה כמה משולשים זה מוסיף לי.

ראיתי שאם עברתי מ-4 נקודות ל-5 נקודות זה הוסיף לי 3 משולשים של הנקודה הראשונה ועוד 2 בגלל החלוקה של הקודמים.

התחלתי לצייר כל נקודה והקווים שהיא מוסיפה בצבע אחר וראיתי שכמות המשולשים שמתווספים זה כמות המשולשים שמכילים צלע או חלק צלע בצבע החדש ותמיד זה 2 חדשים פלוס עבור כל משולש מקודם עם תוספת קטנה.
קיבלנו שזו סדרה של 1+3+5+7.... כשכמות המספרים זה מספר הנקודות פחות 3 (כי זה מתחיל מ 3 נקודות). וכל מספר זה סכום של סדרה כזאת.

נעזרתי בצ'אט גי פי טי והוא הראה לי איך לחשב סכום של סדרה חשבונית של מספרים אי זוגיים.

יוצא שעבור 30 נקודות מקבלים 784 משולשים."

_________________________

נדב, תלמיד התוכנית בקבוצת ו' בהרצליה, מסביר כיצד יש למקם את הנקודות על המישור ליצירת כמות משולשים מקסימלית וכן כיצד ניתן לחשב כך את כמות המשולשים שנוצרים. בנוסף, הוא גילה את הנוסחה הכללית למספר המשולשים, אך עוד פועל להסביר אותה לעצמו (האם אתם יכולים?):

"הכי הרבה משולשים שהצלחנו לקבל היה באופן הבא: שמנו 28 נקודות על ישר אחד (נניח במרווחים קבועים, אבל זה לא ממש משנה) ואז מיקמנו עוד שתי נקודות, אחת מעל הישר ואחת מתחתיו - נקרא להן A,B.

אז כל אחת מהנקודות על הישר יוצרת משולש עם A ו-B, סה״כ 28 משולשים.

בנוסף, כל בחירה של שתי נקודות על הישר יוצרת עוד שני משולשים עם A,B, סה״כ 28*27 = 756.

בסה״כ קיבלנו 784 משולשים.

באופן כללי יותר, אם יש N נקודות על המישור אז יוצא שמספר המשולשים שמתקבל באופן שתיארנו הוא (N-2) בריבוע. ניסינו להסביר לעצמנו למה זה הכי הרבה שאפשר, אבל לא הצלחנו עדיין..."

_________________________

אלמוג, תלמיד התוכנית בקבוצת ו' בראש העין, גייס את אביו לעזרה. יחד הם חקרו מקרים קטנים ולבסוף פיתחו את הנוסחה הכללית בעזרת כלים מעולם הקומבינטוריקה:

"זאת הייתה חידה ממש קשה והפעם נעזרתי מאוד באבא.

בהתחלה ניסינו לחשוב איך אפשר ליצור הכי הרבה משולשים לפי החוקים.

אני אסביר את הדרך הכי טובה שאנחנו הצלחנו למצוא עם 4 נקודות.

מייצרים משולש מהנקודות ABC, ואז מוסיפים נקודה D מחוץ למשולש בקו ישר מעל הנקודה למעלה.

כך נוצר לנו בנוסף משולש גדול ABD ועוד שניים נוספים קטנים ACD ו BCD, אז סך הכל 4 משולשים (עם ABC). עם 5 נקודות הוספנו נקודה נוספת בקו ישר מעל הנקודה למעלה, וראינו שאנחנו מייצרים 9 משולשים. ראינו שאנחנו יכולים לייצר כל קומבינציה של 3 נקודות חוץ מאחת שמייצרת קו ישר. ב-6 נקודות יצא לנו 16 משולשים אחרי שהורדנו 4 קומבינציות של קוים ישרים. הבנו שצריך תמיד להוריד את מספר הקומבינציות של 3 נקודות שמייצרות קו ישר.

אבא עזר לי עם הנוסחה בקומבינטוריקה (בתוספת הסברים של צוות החידמטיקה - להלן צ.ח):

n! ÷ (3!×(n-3)!) (צ.ח: זו הנוסחה לחישוב מספר האפשרויות לבחור 3 נקודות מתוך n נקודות)

וצריך להוריד מזה: m! ÷ (3!×(m-3)!) (צ.ח - כנ"ל לגבי m נקודות)

n זה מספר הנקודות ו-m הוא n-2 שזה מספר הנקודות פחות שתי הנקודות בצלע הבסיסית.

אז אם נחשב את זה ל 30 נקודות:
ex: 30! ÷ (3!×27!) - 28! ÷ (3!×25!)

וקבלנו 784.

מקווה שצדקנו כי זאת הייתה חידה מאוד קשה הפעם."

_________________________

Page updated

Google Sites

Report abuse