התשובה היא: 3,816,547,290

כל הכבוד לכל מי שהשקיעו בפתרון ובנימוק ושלחו אלינו את תשובותיהם!

אייל, תלמיד התוכנית בקבוצת ז׳ בר אילן, גילה בעזרת הרמזים אילו ספרות מתאימות לאיזה מיקום, ובעזרת ״שיטת האלימינציה״ וצמצום תשובות, וקצת ניסוי וטעייה, הגיע לתשובה הנכונה.

עבדתי בשיטת האלימינציה.

ספרת האחרון (הספרה ה-10) חייבת להיות 0, כי המספר מתחלק ב-10:

10 -> 0

הספרה החמישית חייבת להיות 5 כי המספר מתחלק ב-5 והספרה 0 תפוסה:

5 -> 5

כל הספרות במקום הזוגי חייבות להיות זוגיות כי הן  ספרת היחידות של מספר שמתחלק במספר זוגי ולכן חייבות להיות זוגיות:

2,4,6,8 -> 2,4,6,8

מכאן יוצא שכל הספרות במקומות האי-זוגיים חייבות להיות אי-זוגיות (מה שנשאר):

1,3,7,9 -> 1,3,7,9

הספרות במקומות 4 ו-8 לא יכולות להיות 4 או 8 כי המספר שנוצר לא יתחלק ב-4 ללא שארית:

4,8 -> x4,x8

מכאן הספרות במקום ה-2 ו-6 הן או 4 או 8

2,6 -> 4,8

הינה סיכום של מה שקיבלתי עד עכשיו:

1  -> 1,3,7,9

2  -> 4,8

3  -> 1,3,7,9

4  -> 2,6

5  -> 5

6  -> 4,8

7  -> 1,3,7,9

8  -> 2,6

9  -> 1,3,7,9

10 -> 0

ננחש הספרה במקום השני, היא 4:

2->  4

אז:

6 ->  8

במקום הראשון והשלישי רק הצירופים באים יצרו מספר תלת ספרתי שמתחלק בשלוש (לפי סכום ספרות):

(1,3) -> (1,7), (7,1)

7 -> 3,9

המספרים ה-7 ספרתיים האפשריים הם:

1472583 - V - מתחלק ב 7

1472589 - X

7412583 - X

7412589 - X

1476583 - X

1476589 - X

7416583 - X

7416589 - X

נמשיך לבדוק עם המספר היחיד שמתחלק ב-7:

1472583

8 -> 6

9 -> 9

14725836 - X - לא מתחלק ב 8

ההנחה היתה שגויה לגבי המקום השני אז במקום השני הספרה חייבת להיות 8:

2 -> 8

6 -> 4

4 -> 6

8 -> 2

7 -> 3,7

במקום הראשון והשלישי רק הצירופים הבאים יצרו מספר תלת ספרתי שמתחלק בשלוש (לפי סכום ספרות):

(1,3) -> (1,3), (1,9), (3,1), (7, 9), (9, 1), (9, 7)

1836547 - X

1896543 - X

1896547 - X

3816547 - V - מתחלק ב 7

7896543 - X

9816543 - X

9816547 - X

9876543 - X

נמשיך עם המספר היחיד שמתחלק ב 7:

3816547

8 -> 2

9 -> 9

38165472  - V - מתחלק ב 8

תוצאה:

3816547290

_________________________

אריאל, תלמיד התוכנית בקבוצת ז׳ ראש העין, אסף כמה שיותר רמזים שיעזרו לצמצם את הספרות האפשריות, ובעזרת פסילת תשובות הצליח להגיע לתשובה אחת ויחידה:

קודם כל יש לנו את j=0 ואת e=5. גם ברור שכל המקומות הזוגיים צריכים להיות מספרים זוגיים כי רק מספרים זוגיים מתחלקים בזוגיים. אז המקומות האי זוגיים הם המספרים האי זוגיים.

את ההתחלקות ב 9 אין בכלל טעם לבדוק כי במילא יהיו שם הספרות 1 עד 9 שסכומן 45 ולכן בכל מקרה המספר abcdefghi יתחלק ב 9. 

המספר abcd צריך להתחלק ב 4. בגלל ש 100 מתחלק ב 4 מספיק לבדוק ש cd מתחלק ב 4. נזכור גם ש c אי זוגי וש 5 ו 0 כבר תפוסים. האפשרות שנשארו הן:

12

16

32

36

72

76

92

96

אז d הוא 2 או 6.

המספר abcdef מתחלק ב 6 כלומר מתחלק גם ב 2 וגם ב 3. כדי להתחלק ב 3 סכום הספרות צריך להתחלק ב 3 אבל גם abc צריך להתחלק ב 3 (שבזה נטפל אחר כך) אז מספיק לבדוק את def. מפה עברתי ל def שאני יודע עליו שהוא בעצם d5f עם d 2 או 6 ו f זוגי ו 0 תפוס. זה ממש מצמצם את האפשרויות לשתיים בלבד:

   258

   654

אז f הוא 8 או 4 בהתאמה ל d. 

עכשיו עברתי לבדוק התחלקות של abcdefgh ב 8. בגלל ש 1000 מתחלק ב 8 מספיק לבדוק את ה 3 ספרות האחרונות fgh. נזכור ש f הוא 4 או 8 ושיש מספרים תפוסים וש h זוגי והאפשרויות שנשארו הן:

416

432

472

496

    816

832

872

896

כלומר גם h הוא 2 או 6 וכמובן בהתאמה ל d. אז נסכם עד עכשיו שנשארו עם:

abc258g6i0

abc654g2i0

זה מייד נותן לנו את b לפי הזוגיים שנשארו

a4c258g6i0

a8c654g2i0

עכשיו עברתי לבדוק את abc שצריך להתחלק ב 3, עם a אי זוגי, c אי זוגי, 5 תפוס, ו b או 4 או 8. אלו האפשרויות שנשארו (מפריד לקבוצות לפי b):

147

741

349

943

 —

183

381

189

981

387

783

987

789

 זה די הרבה. רשמתי את כל המספרים שוב:

147 258g6i0

741 258g6i0

349 258g6i0

    943 258g6i0

—

183 654g2i0

381 654g2i0

189 654g2i0

981 654g2i0

387 654g2i0

783 654g2i0

987 654g2i0

789 654g2i0

עכשיו אני חזרתי לבדוק מי מתחלק ב 8. התחלתי בקבוצה של b=4 ולפי הרשימה מקודם של המספרים שמתחלקים ב 8 נשארו רק:

1472589630

7412589630

שכמובן השלמתי את i לפי הספרה האחרונה שנשארה פנויה שהיא 3. נשאר לבדוק אם abcdefg מתחלקים ב 7 ולצערי שניהם לא. עברתי לקבוצה של b=8 ושוב בדקתי מי מתחלק ב 8 לפי הרשימה. בדקתי את:

1836547290

3816547290

 וכמובן שיש עוד אפשרויות אבל לא התאפקתי וכל מספר שקיבלתי בדקתי אם מתחלק ב 7 ואכן 3816547290

 בינגו!

_________________________