התשובה היא: 10

כל הכבוד לכל מי שהשקיעו בפתרון ובנימוק ושלחו אלינו את תשובותיהם!

חידת השנה החדשה דרשה הרבה יצירתיות וסבלנות.
אין ספק כי האתגר המשמעותי בה היה להצליח לזהות האם הסכום שהגעתם אליו הוא אכן הנמוך ביותר האפשרי.

שמחנו לקרוא אצל רבים מכם שנהניתם מתהליך החשיבה על החידה ונהנינו לקרוא את ההסברים היפים שלכם, גם אם לא הגעתם לתוצאה הקטנה ביותר.
נוכל לשתף אתכם שרק כ-6% מהמשיבים הצליחו להגיע הפעם אל התשובה הנכונה, כך שגם אם הגעתם קרוב אליה - זה בהחלט הישג מרשים!

כרמי, תלמידת התוכנית בקבוצת ו' ברחובות, פתרה את החידה יחד עם אביה ותיארה באופן בהיר את תהליך החשיבה שלהם:

"שמנו לב ש-2025 זה 45 בריבוע, ונראה לנו שזו הדרך הקצרה ביותר, ולכן עברנו לשאול את עצמנו מה הדרך הקצרה ביותר להגיע ל-45. התחלנו עם המכפלה של 5 ו-9, ומהר מאוד התחלנו כל מיני ניסויים. הדרך הקצרה ביותר שאליה הגענו היא 2×(1-!4) שזה 46, ומשם הורדנו אחד לפני העלאה בחזקה.

התרגיל הוא: Ex: [(4!-1)×2-1]²

כלומר השתמשנו ב- 1,1,2,2,4 ובסך הכל 10."

_________________________

דניאל, תלמיד התוכנית בקבוצת ז' ביבנה, הצליח לשפר ולשפר את התרגיל עד שהגיע למספר הקטן ביותר:

"ניסיתי לעשות שורש ל-2025 וראיתי שיוצא 45, לכן 45*45=2025. אפשר להראות את זה כ-2^45. 

כדי לקצר את זה עוד צריך להקטין עוד את 45. ניסיתי להשתמש בעצרת ועשיתי !4 שזה העצרת הכי קרובה ל-45. 

חשבתי קצת והבנתי שצריך לעשות !4*2 ואז להחסיר 3 מה שייתן 45, ואז את זה בחזקת 2. 

חשבתי על זה קצת וניסיתי לעשות דרך אחרת, אז עשיתי 1-!4 שזה 23, ואז את זה הכפלתי פי 2 והחסרתי 1, מה שנותן 45 בסכום 8. ואז עשיתי בחזקת 2 וייצא 2025 רק בסכום 10."

_________________________

גיא, תלמיד התוכנית בקבוצת ז' בבר אילן, מתאר גם הוא את התהליך בעזרתו הקטין את הסכום יותר ויותר:

"התחלתי לבדוק אם למספר 2025 יש שורש עגול ומסתבר שהשורש שלו הוא 45.
כלומר אני צריך להגיע למספר 45 עם המספרים הנמוכים ביותר.
בהתחלה חשבתי על הדרך הפשוטה ביותר: 9×5
לאחר מכן התחלתי לפרק את המספרים לגורמים. לדוגמא 9 ל-3×3 ומשם לדרך יותר קצרה 2^3.
עקב זאת הגעתי לתרגיל הבא:  2^(2^3×5). בתרגיל הזה סכום המספרים הוא 12.
אבל בכל זאת המשכתי לחפש תרגיל עם סכום מספרים עוד יותר נמוך מ-12.
השתמשתי בעצרת והגעתי לתרגיל הבא: 2^(4!×2-3). בתרגיל הנ״ל הסכום הוא 11.
בתרגיל הבא לקחתי את אותו רעיון ושיפרתי אותו למקסימום - התרגיל הוא:  2^[1-[2*(1-!4)] בתרגיל הזה סכום הספרות הוא 10. לכן התשובה לשאלה היא 10"

_________________________

יהונתן, תלמיד התוכנית בקבוצת ו' בתל אביב, הבין מרגע ראשון ששימוש בפעולת העצרת יביא אותנו למספרים גדולים בקלות, שילב אותה עם פעולת החזקה, והגיע אל הפתרון:

"בהתחלה בדקתי אם יש עצרת שמגיעה לזה, וגיליתי שהכי קרוב זה 6 עצרת.

חשבתי אם יש משהו אחר, נגיד, כמו חזקה או כפל, ובסוף בדקתי מה הוא השורש של 2025 וזה 45. כאן היה לי קצה חוט ובדקתי איך אני מגיע בהכי פחות מספרים גדולים ל-45 בחזקת 2.

הגעתי לתרגיל שאני חושב שהוא נכון: 4 עצרת פחות 1 כפול 2 פחות 1 בחזקת 2. זה יוצא 2025."

_________________________

אלה, תלמידת התוכנית בקבוצת ז' ברחובות, נעזרה באחותה ובקוד מחשב ולמעשה הן הוכיחו יחד כי לא ייתכן סכום נמוך מ-10:

"הקוד מחשב את כל החלוקות האפשריות של מספר והפרמוטציות שלהם (לדוגמה בעבור המספר 3: (1,1,1) (2,1) (1,2)).
על כל אחת מהחלוקות, הקוד הפעיל את כל הפעולות האפשריות: כפל, חילוק, חזקה, עצרת, חיבור וחיסור.
לדוגמה בעבור (2,1)

Ex:  2+1, 2-1, 2*1, 2/1, 2^1, 2!+1, 2!+1! , 2-1!, 2!-1, ...

ובדק האם התוצאה מגיעה ל-2025. הקוד רץ על כל המספרים מ1 עד 10, וכשהגענו ל10 מצאנו תרגיל שתוצאתו הוא 2025:

Ex: ((1-4!)*2+1)^2.

מכאן שהסכום הנמוך ביותר אליו יכולים להגיע מאיה ואמיר הוא 10."

_________________________

לצד הנימוקים לתשובה הנכונה, היו עוד שתי תשובות נמוכות יותר שמצאו חן בעינינו (אך אינן נכונות),
ונציג אותן כאן: