התשובה היא: 1024

כל הכבוד לכל מי שהשקיעו בפתרון ובנימוק ושלחו אלינו את תשובותיהם!

נדב, תלמיד התוכנית בקבוצת ו׳ בהרצליה, ראה שכל מספר עם מחלק אי-זוגי הוא בעצם משולש קטום. הוא נעזר בידע שנתנו כדי למצוא את התשובה הנכונה, אך כמו מתמטיקאי מקצועי - ממשיך לעבוד כדי להוכיח לעצמו את נכונותה:

"התגלית המרכזית שלנו הייתה שאפשר לקבל כל מספר שהוא כפולה של מספר אי-זוגי מטרפז עם מספר אי-זוגי של שורות. למשל אפשר לקבל כל מספר שמתחלק ב-3 (החל מ-6) מטרפז עם 3 שורות, כל מספר שמתחלק ב-5 (החל מ-15) מטרפז עם 5 שורות, וכן הלאה…

כלומר המספרים היחידים שנשארים הם חזקות של 2! ויש רק מספר אחד כזה בין 1,000 ל-2,000 שהוא 10²=1024, וזה חייב להיות המספר המבוקש. 

אנחנו עדיין מנסים להוכיח שאי אפשר לקבל אותו משום טרפז, אבל זאת חייבת להיות התשובה הנכונה…"

_________________________

הילה, תלמידת התוכנית בקבוצת ז' בחיפה, בעזרת שיטת חישוב בהשראת גאוס, הוכיחה שכל משולש קטום זוגי חייב שיהיה לו גורם אי-זוגי, מה שמסביר בדיוק למה 1,024 הוא יוצא הדופן היחיד:

"בהתחלה בדקתי אם אפשר לכתוב כל מספר עד 16 כסכום של כדורים כמו בשאלה וגיליתי שאפשר לכתוב את כל המספרים חוץ מהחזקות של 2 שהן: 2, 4, 8, ו-16. לכן הבנתי שיש פה משהו עם חזקות של 2.

כדי לחשב סכום של מספרים עוקבים, אפשר להשתמש בשיטה שגם גאוס השתמש בה כשהיה ילד. אני אסביר אותה בשתי דוגמאות:
נניח שרוצים לדעת מהו 4+5+6+7+8. רושמים את כל המספרים בסדר ההפוך 8+7+6+5+4 ואז רואים שפעמיים הסכום שווה ל-12+12+12+12+12, וזה באמת יוצא 30.
עוד דוגמה: נניח שרוצים לדעת מהו 5+6+7+8. כותבים בסדר הפוך 8+7+6+5, מחברים ומקבלים שפעמיים הסכום הוא 13+13+13+13, וזה באמת יוצא 26.

לכן אפשר תמיד לכתוב פעמיים סכום מספרים עוקבים כמכפלה של שני מספרים: אחד מהם הוא מספר המחוברים, והשני הוא סכום המספר הראשון והאחרון.

עכשיו מה שחשוב הוא שתמיד אחד המספרים האלה אי-זוגי: או שיש מספר אי-זוגי של מחוברים, או שיש מספר זוגי של מחוברים ואז סכום הראשון והאחרון הוא אי-זוגי.

הדרך היחידה לכתוב חזקה של 2 (וגם פעמיים שלה) כמכפלה של מספר אי-זוגי במספר אחר היא שהמספר האי-זוגי הזה יהיה 1, אבל לא הרשינו סכומים כאלה בשאלה. לכן אי אפשר לכתוב את 1,024 (שהוא החזקה היחידה של 2 בין 1,000 ל-2,000) כסכום של לפחות שני מספרים עוקבים.

אבא שלי בדק גם במחשב, וראה שאת שאר המספרים בין 1,000 ל-2,000 כן אפשר לכתוב"

_________________________

אייל, תלמיד התוכנית בקבוצת ו׳ במודיעין -רעות, הציג את האופן שבו ניתן ליצור משולש קטום מכל מספר שיש לו גורם אי-זוגי, כך הוא מצא את המספר היחיד שלא עונה על התנאים:

"קודם הבנתי שכל מספר אי-זוגי אפשר להרכיב משני מספרים עוקבים, ולכן משולשי קטום של שתי שורות, לדוגמא: 1201=600+601. לכן התשובה לא יכולה להיות מספר אי-זוגי.

על אותו רעיון, הבנתי שכל מספר שמתחלק ב-3 אפשר להרכיב ב-3 שורות של מספרים עוקבים (שליש מהמספר + אחד מעל + אחד מתחת), ואז הבנתי שאפשר להכליל את זה לעוד מספרים אי-זוגיים, וזה הוביל אותי לחפש מספר שאין לו מחלק אי-זוגי (חוץ מ-1), המספר היחיד בין 1,000 ל 2,000 שאין לו מחלק אי-זוגי הוא 1,024 שהוא חזקה של 2.

כדי לבדוק אם אני צודק חיפשתי סכום של סדרה חשבונית של מספרים עוקבים (ההפרש הוא 1), שזה בעצם משולשי קטום, שיהיה 1,024, ולא מצאתי (בחנתי בשיטה זאת גם את 1,028 כניסוי ומצאתי שאפשר ב-8 שורות). בגלל שלפי השאלה יש מספר אחד שעונה להגדרה, עצרתי את החיפושים :-)"

_________________________