חידמטיקה #7 - סכימה בלתי אפשרית
חידמטיקה #7 - סכימה בלתי אפשרית
Embedded Files
אמיר:
"את זוכרת את חידת הבניינים שלנו? אז השבוע שוב בניתי בניינים וגיליתי משהו מתמטי מגניב!
עבדתי עם בנייני בסיס בגובה 3 יחידות ובגובה 5 יחידות. הבנתי שאם אניח אותם אחד על השני, אוכל לבנות מהם בניין באיזה גובה שרק ארצה, כמעט.
אני יכול להגיע לכל גובה חוץ מאשר 1, 2, 4 ו-7!"
מאיה:
"וואו, זו באמת תגלית יפה! אתה בעצם אומר שכל מספר גדול מ-7 אתה יכול להציג בתור סכום של 3 ו-5?!
זאת אומרת שאפשר להגיע אליו על ידי פעולה של 3 כפול משהו ועוד 5 כפול משהו. או כמו שהמתמטיקאים היו כותבים את זה ברישמיות: 3a+5b, כש-a ו-b שלמים אי-שליליים.
נראה רגע - 8 זה 3+5, 9 זה 3+3+3 (או בקיצור 3×3), 10 הוא 2×5, 11 הוא 5+ 2×3, 12 הוא 4×3. אבל אפשר להשתכנע שזה ימשיך לנצח?"
אמיר:
"כן, אני בטוח שאם תחשבי על זה עוד רגע את תצליחי לשכנע את עצמך גם..."
מאיה:
"רגע... רגע... אה! נכון, הצלחתי לשכנע את עצמי! והצלחתי להשתכנע בעוד דבר... אני חושבת שזה יעבוד עם כל זוג של מספרים...
או, רגע... בעצם... לא עם כל זוג של מספרים, אבל כמעט עם כל זוג של מספרים! אתה תמיד תוכל לחבר אותם בכל מיני דרכים וצורות, ככה שהחל מנקודה מסוימת - תוכל להגיע לכל מספר שלם!"
אמיר:
"הייתה לי הרגשה שזה ילהיב אותך! וזו גם הזדמנות להזכיר שאם לתלמידים של התוכנית יש תופעות מגניבות שאפשר להפוך לחידות - שישלחו לנו מתוך הטופס בעמוד התחרות שלנו..."
מאיה:
"או, טוב שהזכרת את זה! כי אנחנו יכולים ממש בקלות להכין כאן חידה... היום אנחנו בחידמטיקה #7, ו-7 הוא מספר יפה ומעניין, וגם המספר הכי גבוה שאי-אפשר להגיע אליו עם אבני הבניין שלך. אני גם יודעת כבר שעם אבני הבניין 11 ו-19 נצליח להגיע לכל המספרים השלמים, כמעט."
אמיר:
"אני יודע! אני יודע! אז את רוצה גם עם האבנים האלה לדעת מהו המספר הכי גדול שאליו אי-אפשר להגיע, מדליק! אני חושב שאנחנו יכולים לחקור את זה ביחד!
את חושבת שיש נוסחה שאפשר לפתח בשביל זה? לדעת לאילו מספרים אי אפשר להגיע עם זוג אבני בניין כלשהן?"
מאיה:
"אני לא יודעת, אבל לדעתי אם נתחיל ללכלך את הידיים ולשחק עם כל מיני זוגות של מספרים - אנחנו גם נמצא את התשובה לחידה שהמצאתי, וגם נוכל לגלות עוד כל מיני דברים מגניבים!"
אמיר:
"זאת נשמעת לי כמו תוכנית! יאללה - דף, מחק, עיפרון - ואני מתחיל ללכלך את הידיים ולגלות דברים!"
________________
מוזמנות ומוזמנים לפתור את החידמטיקה בתמונה המצורפת.
מה התשובה? (לחצו כאן כדי להציג)
מה התשובה? (לחצו כאן כדי להציג)
התשובה היא: 179
התשובה היא: 179
כל הכבוד לכל מי שהשקיעו בפתרון ובנימוק ושלחו אלינו את תשובותיהם!
אמה, תלמידת התוכנית בקבוצת ו׳ ברופין, הבינה כיצד היא יכולה להשתכנע שהחל מנקודה מסויימת כל המספרים אפשריים, ונעזרה בכך כדי למצוא את הפתרון:
" ידעתי שאם אני אצליח לבנות שרשרת של לפחות 11 מספרים רצופים שניתן להגיע אליהם עם התבנית 11a+19b, משם והלאה אוכל לייצר את כל המספרים על ידי הוספת 11.
התחלתי בלרשום את כל הכפולות של 11 עד 209 ( 11 כפול 19 ) ואת כל הכפולות של 19 עד 209 (19 כפול 11 ).
התחלתי מ208 וחזרתי אחורה, הרכבתי את כל המספרים עד שהגעתי ל179, שאותו לא הצלחתי להרכיב לפי התבנית.
מה ששמתי לב שמיוחד במספר 179 זה שאם מוסיפים לו 11 מקבלים מספר שמתחלק ב19 ( 190 ) ואם מוסיפים לו 19 מקבלים מספר שמתחלק ב11 ( 198 ).
נעזרתי באבא שלי כדי למצוא את הנוסחה: a×b-(a+b)
במקרה הזה a=11 וb=19.
"
_________________________
יעל, תלמידת התוכנית בקבוצת ו׳ בשוהם, חקרה ומצאה שיטה מבריקה להשתכנע שאפשר להגיע לכל מספר החל מ-209. מכאן הדרך שלה לפתרון הייתה כבר קצרה:
" בהתחלה, הבנתי ש11 ו19 הם מספרים ראשוניים, לכן לא יהיה להם שום מחלק משותף חוץ מכאשר יכפילו אותם זה בזה (11*19). כאשר מכפילים אותם זה בזה יוצאת התוצאה 209. כתבתי את זה כך: 19*11+0*19 או 19*11+11*0
זאת אומרת 19 פעמים 11 או 11 פעמים 19 ואפס בשני.
לאחר מכן חיפשתי דרך שבה כל מספר לאחר מכן יווצר בעזרת המספרים 11 ו19.
הדרך שמצאתי היא לתאר את X+1, וראיתי שאם נוסיף 7 פעמים 11 ונוריד 4 פעמים את 19 או נוסיף 7 פעמים את 19 ונוריד 12 פעמים את 11, נקבל +1 למספר שהתחלנו ממנו.
לכן אפשר מ209 לתאר כל מספר, כי תמיד אפשר לעשות +1 ולהשאר עם תרגיל של 11 ו 19.
אם מ209, נוריד את 19 ואת 11, אז אין דרך לתאר את המספר החדש בעזרת 19 ו11, מכיוון שכפי שציינתי בהתחלה יש 2 דרכים לתאר את 209, פעם אחת עם 11 פעמים 19 ואפס פעמים 11 ופעם אחרת עם 19 פעמים 11 ואפס פעמים 11, אז אם נוריד 19 ו11 אין דרך לתאר את המספר החדש:
209-11-19=179
"
_________________________
נדב, תלמיד התוכנית בקבוצת ו׳ בגבעתיים, חקר יחד עם אבא שלו זוגות נוספים של מספרים ראשוניים, ויחד הם הבינו את החוקיות:
" ישבתי על החידה עם אבא שלי ושמנו לב שגם 3 ו-5 בדוגמה וגם 11 ו-19 בחידה הם ראשוניים.
אז התחלנו לבדוק לפי זוגות של מספרים ראשוניים.
3 ו-7, 3 ו-11, 5 ו-7, 5 ו-11, 7 ו-11.
עברנו מספר מספר ובדקנו אם אפשר או אי אפשר להגיע אליו באמצעות כפולות. כתבנו בצד את המספרים שאי אפשר להגיע אליהם.
עצרנו ברגע שהגענו לרצף של מספרים שאפשר להגיע אליהם באורך של המספר הקטן.
לדוגמה כשבדקנו 5 ו-7 ברגע שהצלחנו 5 מספרים רצוף כבר לא היה טעם להמשיך כי ברור שאפשר מהם להגיע לכל המספרים אם מוסיפים למספרים ברצף הזה 5.
בשלב הזה עצרנו והתחלנו לחפש חוקיות.
אבא שלי ניסה להכפיל את המספרים אבל עדיין לא הגענו לפיתרון.
הצעתי לבדוק מה הפער בין המספר המקסימלי שאי אפשר להגיע אליו לבין המכפלה.
ברגע שעשינו את זה מהר מאוד ראינו שזה יוצא סכום המספרים.
אז אם המספרים שבודקים הם X ו-Y אז הנוסחה היא X*Y-(X+Y)
ואז השתמשנו בנוסחה כדי לבדוק מה המספר שמתקבל עבור 11 ו-19.
"
עידו, תלמיד התוכנית בקבוצת ו׳ בהוד השרון, מסביר בצורה בהירה ביותר שכל מה שעליו לעשות הוא להצליח להגיע עם כפולות של 19 לכל השאריות האפשריות בחלוקת מספר ב-11:
" התחלתי פשוט בלנסות לחבר ולהכפיל את 11 ו19 אבל מהר מאוד התייאשתי מזה, כשהתחלתי לחשוב על יותר ברצינות הבנתי שאפשר להשתמש בשארית של תוצאות המכפלה/חיבור של 11 ו19, אם זה לא ברור תכף תבינו.
אחרי שהבנתי את זה התחלתי לרשום לעצמי כפולות של 19 (כפולות עוקבות)
19*1 = 19
19*2 = 38
19*3 = 57
19*4 = 76
מספיק לבינתיים...
אחרי זה התחלתי לרשום על כל אחד מהם כמה הוא שווה אם מחלקים אותו ב11 (עם שארית):
19 = 11+8
38 = 11*3 + 5
57 = 11*5 + 2
76 = 11*6 + 7
הבנתי שמעכשיו אוכל להשתמש בשאריות האלה, לדוגמה:
כדי לחשב בנוחות יותר איך מכינים בעזרת 11 ו19 את המספר 49 ארשום:
11*4 (הכפולה המקסימלית של 11 לפני שאעבור את 49) + 5 (כדי להשלים ל49)
עכשיו אני רואה שאני מוסיף 5, מספר שאין לי, ולכן אני בודק ברשימה שהכנתי לי קודם ומחפש שם את השארית 5 שנמצאת בתרגיל ששווה 38, עכשיו אני מחפש בכפולות של 19 מהי הכפולה של 38, 19*2 ואז משנה את התרגיל בהתאם:
19*2 + 11(ה11 נשאר בגלל שבתרגיל 38 = 11*3 + 5 רואים שמשתמשים רק ב3 11 ולא ב4, ובתרגיל המקורי, 11*4 + 5 יש 4 11 לכן נשאר אחד), עכשיו רק צריך לבדוק שהתרגיל נכון.
כן! 19*2 + 11 = 49!
ברגע שהצלחתי להבין את הדרך הזאתי הבנתי שכל שעלי לעשות הוא להגדיל את שתי הרשימות שלי עד שיהיו בהן 11 שורות,
עכשיו הרשימה של הכפולות של 19 ניראת כך:
19*1 = 19
19*2 = 38
19*3 = 57
19*4 = 76
19*5 = 95
19*6 = 114
19*7 = 133
19*8 = 152
19*9 = 171
19*10 = 190
19*11 = 209
והרשימה של השאריות ניראת כך:
19 = 11+8
38 = 11*3 + 5
57 = 11*5 + 2
76 = 11*6 + 7
95 =
אני ממש מצטער, עוד רגע נגמר לי הזמן ואני חייב להגיש עכשיו, העיקרון הוא כזה, אני מצליח להגיע למצב בו יש לי 11 שאריות: מ-0 ועד 10.
וכך בעצם יכול להגיע לכל המספרים הגבוהים מ179, למה?
בגלל שברשימה של הכפולות של 19 המספר הכי גבוה הוא 190 (את ה209 החלפתי ב 11*1 = 11+0)
ול190 אני יכול להגיע, 10*19, לכן אני מחסר ממנו 11 ומגיע למ179, מעכשיו אני יכול להגיע לכל המספרים, דוגמה אחת:
180 = 16*11 + 4 = 6*19 + 6*11
"
דניאל, תלמיד התוכנית בקבוצת ז׳ ביבנה, יצר טבלה באופן יצירתי שאיפשר לו לערוך רק מספר מצומצם יחסית של בדיקות. הוא גם מוסיף על הקשר המיוחד בין החידה לבין מקדונלדס:
" התחלתי בלחשוב על דרכים שבהם אני אוכל "להיפטר" מכל המספרים עד שישארו לי כמה מספרים בודדים. קודם חשבתי על ליצור מספרים קטנים שישמשו כגורמים אבל הבנתי שיש גם מספרים ראשוניים וזה ייקח המון זמן לבדוק כל מספר ומספר.
אחרי זה חשבתי על שיטה אחרת : לחלק את כל המספרים לטבלה כך שיהיה לי מספר מסוים של עמודות שבשלב מסוים כל המספרים בעמודה יהיו אפשריים ליצירה עד שאני אשאר עם כמה מספרים בודדים.
ניסיתי ליצור טבלה של 11 עמודות בסדר עולה משמאל למטה שזה 0 ממשיך ימינה וכשהמספר מגיע למשבצת האחרונה הוא עולה שורה למשבצת השמאלית ביותר. אחר כך התחלתי לסמן את כל המספרים שאפשר ליצור בעזרת 11 ו19, הראשון הוא 0 ושמתי לב שכל מי שמעל 0 עולה ב11 כי הטבלה היא בגודל 11 כך שכל המספרים מעל 0 בטבלה ניתן ליצור. אחר כך הלכתי למספר הבא שלא מסומן : 19. אותו דבר כמו ה11 כל המספרים מעל ה19 ניתן ליצור. חזרתי על התהליך הזה 11 פעמים עד שהגעתי ל190. המספר הבא אחריו הוא 209 (190+19) אבל הוא כבר מסומן מההתחלה בעמודה הראשונה כך שהתהליך מתחיל מההתחלה וסימנו את כל העמודות בטבלה. עכשיו נשארו כמה מספרים בודדים שלא סומנו והכי גבוהה מבניהם הוא 179 לכן זאת התשובה.
החידה הזאת זו חידה מוכרת ששמה Chicken McNugget Theorem שבמקור, מקדונלדס פעם מכרה נאגטים בחבילות של 9 ו20 ואנשים היו סקרנים לדעת מה מספר הנאגטים הגבוהה ביותר שלא ניתן להגיע אליו.
החידה נקראת גם בעיית המטבעות של פרובניוס או בעיית פרובניוס, לאחר שהמתמטיקאי הגרמני פרדיננד פרובניוס שאל לגבי כמות המטבעות הגדולה ביותר שלא ניתן היה לייצר עם סוגים מסוימים של מטבעות. יש נוסחה לחידה הזאת :
מספר מקסימלי=2/(ab-a-b)
נמקם את המספרים שלנו בנוסחה 179=(19-11-19*11)
"
Page updated
Google Sites
Report abuse