התשובה היא: 2499

כל הכבוד לכל מי שהשקיעו בפתרון ובנימוק ושלחו אלינו את תשובותיהם!

אורי, תלמידת התוכנית בקבוצת ז' ביבנה, התחילה עם אינטואיציה והמשיכה עם בדיקה שבעזרתה מצאה איפה כדאי לבדוק עוד יותר לעומק וכך הגיעה בצורה הנכונה אל ההכללה:

"כדי להבין כמה אפסים עוקבים יש בתוצאה של המספר !10000 ניסינו להבין את החוקיות של כמות האפסים שמתווספת בחזקות.
מה שראינו הוא שבכל קפיצה של 5 מתווסף אפס למספר. כלומר, ב-!5 מתווסף אפס, ב-!10 התווסף אפס נוסף וכו'. מה שעוד ראינו היה שב-!25 התווספו לנו 2 אפסים ולא רק אחד.
מה שגרם לנו לבדוק ולהבין שמדובר על חזקות של 5. כלומר - 25, זה 5 בחזקת 2 ולכן מתווספים 2 אפסים. 125, זה 5 בחזקת 3 ולכן מתווספים 3 אפסים.
הלכנו ובדקנו מה החזקות של 5 שעדיין התוצאה של החזקה קטנה מ 10,000, ומצאנו שמדובר על 5⁵. 

ולכן חישבנו:

Ex: 10,000÷5 =2,000  (5¹)
Ex: 10,000÷25 =400  (5² = 25)
Ex: 10,000÷125 = 80 (5³ =125)
Ex: 10,000÷625 = 16 (5⁴ =625)
Ex: 10,000÷3125 =3.2 (כלומר 3 נוספים) (5⁵ = 3125)

סה״כ יוצא 2499 אפסים ב 10,000!"

_________________________

אריאל, תלמיד התוכנית בקבוצת ז' בראש העין, נעזר גם הוא בבדיקה מספרית שאותה הכליל לכדי נוסחה בהירה:

"בהתחלה בדקתי עצרת של מספרים עד 30 כי זה מה שנכנס לי במחשבון.
כל פעם שמגיעים לעצרת של מספר שמתחלק ב-5 מקבלים 0 בסוף המספר בגלל שתוצאת המכפלה עם מספר זוגי נותנת 0 בסוף. אין מה לדאוג שיהיה חסר מספר זוגי כי יש הרבה יותר כאלה. על כל שני מספרים שמתחלקים ב 5 יש חמישה זוגיים אז בטוח יש מספיק.

אז התחלתי לבדוק במחשבון ורשמתי כמה אפסים בסוף מקבלים מכל עצרת חמישית.
5! נותן 1 אפס בסוף ; 10! נותן 2 ; 15! נותן 3 ; 20! נותן 4 ; 25! נותן 6 ; 30! נותן 7
כלומר 25! הוסיף שני אפסים בסוף ולא אחד, כי הוא בעצם 5².
זה יקרה גם עבור 50, 75, 100, 150 וכל מספר שמתחלק ב 25.

וידאתי את זה במחשבון אבל רק עם הכפלה של חמשת המספרים האחרונים כל פעם כי העצרות של המספרים הגדולים האלה כבר חורגות מהספרות במחשבון שלי. 

באותו אופן שאר החזקות של 5 נותנות יותר אפסים: 125 יוסיף 3 אפסים וגם כל מספר המתחלק בו, 625 יוסיף ארבעה אפסים, 3125 יוסיף חמישה אפסים (וכל מספר המתחלק בהם).

עכשיו צריך לספור כמה מתחלקים יש בכל מספר מהחזקות של 5 עד 10000. נשים לב שאם סופרים למשל את 25 כמתחלק ב-5 אז כבר ספרנו עבורו אפס אחד וכשנספור את המתחלקים ב-25 נוסיף רק עוד אפס אחד כך שיהיו שניים סך הכל. באותו אופן סופרים את שאר החזקות של חמש, כלומר כשסופרים מספרים שמתחלקים ב-125 נוסיף רק עוד אפס אחד לספירה כי כבר החשבנו אותו במתחלקים ב-5 ובמתחלקים ב-25. 

 <הראה כאן חישוב>

זהו נשאר רק לסכם את כל האפסים שחישבנו: 2000+400+80+16+3=2499

באמת עגול מאד!"

_________________________

אורי, תלמיד התוכנית בקבוצת ז' בהוד השרון, נעזר במשפט האהוב על מאיה וכך פתר את כל הבעיה!

"לפי המספר היסודי של האריתמטיקה שצירפתם, כל מספר יאפשר להציג כפירוק למספרים ראשוניים ולכן כל 0 יגיע מכפולה של 10, כלומר ממכפלה של 2 ו-5. יש הרבה יותר 2 מ-5 לכן ננסה לראות כמה פעמים 5 נכנס במכפלה של 10000. בעצם צריך לספור פעם אחת את כל הפעמים ש-5 מחלק אבל גם את הפעמים ש-5 בריבוע מחלק וש-5 ב-3 מחלק וכן הלאה. לכן מקבלים 10000 לחלק ל-5 שזה 2000 ועוד 10000 לחלק ל-25 שזה 400 ועוד 10000 לחלק ל-125 שזה 80 ועוד 10000 לחלק ל-625 שזה 16 ועוד 10000 לחלק ל-3125 שזה 3. סך הכל 2499."

_________________________

אייל, תלמיד התוכנית בקבוצת ו' במודיעין, נעזר גם הוא בדיאלוג של מאיה ואמיר, אליו הוסיף בדיקה ידנית ועם שילוב של היגיון הגיע אל התשובה:

"הבנתי שמה שמאיה ואמיר אמרו בשיחה יכול לעזור לפתור את החידה. כשיש 2 ו-5 אז נוסף 0, ואז כשיש 10 וכו'. בנוסף הם נתנו רמז על הפירוק לגורמים ראשוניים. בדקתי תוצאות של 5! (0 אחד), 10! (שני אפסים), 15! (3 אפסים), 20! (4 אפסים) וזה הסתדר עם מספר הזוגות של 2 ו-5 ומספר הכפולות של 10, אז התחלתי מהכיוון הזה.

בגלל ש-10 הוא בעצמו 2×5 הבנתי שיש קשר לכפולות של 5.

ה'בעייה' הייתה שבדקתי גם את 25! ושם ציפיתי ל 5 אפסים אבל יש 6. חזרתי לקשר לפירוק לראשוניים, ולפי 25! הבנתי שכל פעם שיש כפולה של חזקה של 5 מוסיפים עוד חמישיות.

בנוסף מספיק לבדוק רק את מספר הפעמים ש 5 מופיע כגורם ראשוני ב 10000! כי בעצרת מובטח ש-2 מופיע לפחות אותו מספר פעמים כמו 5 בפירוק לגורמים (על כל 5 יש לפניו את 2 ואת 4 וכו').

אז החישוב: ב-10000! יש 2000 כפולות של 5 (10000/5), 400 כפולות של 25 (שמוסיפות עוד 5), 80 כפולות של 125 (שמוסיפות עוד 5) 16 של 625 (עוד 5) 3 של 3125 (עוד 5) ואפשר לעצור כי החזקה הבאה של 5 היא מעל 10000. ובסה"כ 2499 = 2000+400+80+16+3"

_________________________