אמיר:
"מאיה, את יודעת מה המספר הכי גדול בעולם? "

מאיה:
"אני יודעת שאין דבר כזה, אמיר! למספרים אין סוף. לא משנה איזה מספר תבחר אני אוכל לתת לך מספר יותר גדול ממנו. וגם יותר קטן ממנו. בקיצור, אין דבר כזה המספר הכי גדול בעולם."

אמיר:
"נו נכון, אני התכוונתי למספר הכי גדול שיש לו שם. פשוט השבוע למדתי על מספר מטורף - קוראים לו גוּגוֹל (Googol)"

מאיה:
"גוּגוֹל? אתה לא מתכוון גוּגל?"

אמיר:
"לא, מה ששמעת, גוּגוֹל! זה אחד ואז אחריו עוד 100 אפסים. אני תמיד מוקסם ממספרים כאלה גדולים, מספרים שלא משנה כמה ננסה, אנחנו לא יכולים לתפוס כמה שהם עצומים… ורק שתדעי שיש גם את גוגולפלקס שזה בכלל מספר אדיר! זה 1 ואחריו גוּגוֹל אפסים. מספר כל כך גדול שאפילו אי אפשר לכתוב את אותו על דף"

מאיה:
"זה באמת מטורף, אמיר. אבל אתה קצת טועה. יש דרך לכתוב את המספרים הגדולים האלה בעזרת חזקות, לפעמים זה מה שהמחשבון עושה אם נגמר לו המקום.

תחשוב על זה… 10×10 נותן 1 עם שני אפסים. אם נכפול את 10 בעצמו 3 פעמים נקבל 1 עם 3 אפסים, וככה הלאה. אז כמו שכפל הוא קיצור של חיבור המספר לעצמו, חזקה היא קיצור של מכפלת המספר בעצמו.

את המספר שכופלים כותבים למטה ואת כמות הפעמים שכופלים אותו בעצמו כותבים מעל בקטן.

אם גוּגוֹל זה 1 ואז עוד 100 אפסים, אז זה בעצם 10 בחזקת 100 וכותבים את זה ככה: 10¹⁰⁰.

עוד דוגמה: את 100 אפשר לכתוב ככה: 10², ואת 1000 אפשר לכתוב ככה: 10³."

אמיר:
"אה, הבנתי! ועשר שזה 1 ואחריו 0 אחד, וזה באמת גם 10 בחזקת 1?"

מאיה:
"כן, ואתה יודע מה עוד? אפילו 1 שזה 1 ואחריו אפס אפסים… זה 10 בחזקת 0"

אמיר:
"10 בחזקת 0 זה אחד? מאיפה הבאת את זה?"

מאיה:
"כן, כל מספר שמעלים בחזקת 0 הוא 1, חוץ מאם נעלה את 0 בחזקת 0 ששם הדברים מתחילים להסתבך, אבל את זה בטח יסבירו לנו בתוכנית בהמשך…"

אמיר:
"טוב, אז גוגול זה 10 בחזקת 100. ואני כל כך אוהב מספרים עצומים, אז בואי נעשה השבוע חידה על מספרים גדולים ממש! נניח שמתי לב שאם אנחנו מחסירים 1 ממספר כל כך עגול, מקבלים מספר שמורכב רק מתשיעיות, ומספר הספרות שלו קטן באחד. למספר גוגול יש 101 ספרות (אחד ועוד 100 אפסים), ואם נחסיר ממנו 1, נקבל מספר שמורכב רק מהספרה תשע 100 פעמים. אולי נציע לתלמידים למצוא את סכום הספרות של המספר הזה, למשל?"

מאיה:
"אמיר, אם יש לנו 100 פעמים את 9, אז סכום הספרות הוא קל - פשוט נעשה 9 כפול 100. סכום הספרות של גוגול פחות 1 זה 900. אבל אפשר לעשות משהו בסגנון. רק בוא נלך על מספר קצת יותר קטן מגוגול - למשל, אתה מכיר את המספר נוֹניליון? זה אחד ואחריו 30 אפסים."

אמיר:
"אה, 10 בחזקת 30, נכון? אם נוריד ממנו אחד נקבל מספר שמורכב מ-30 תשיעיות. וזה קל - סכום הספרות שלו הוא 9 כפול 30. אז איך נסבך את זה? אולי גם כאן נעשה חזקה? מעניין אם יש כאן משהו מעניין"

מאיה:
"הממ… זה רעיון. אני אומרת בוא נלך על חזקה של 3. זה קצת יותר מעניין מ-2 אבל גם לא גדול מידי.  זאת אומרת ש-3 הוא לא גדול מידי. אבל המספר הזה שלנו אחרי שנכפול אותו בעצמו 3 פעמים? הוא הולך להיות ממש ענק! מה שמעניין אותי זה איך הספרות שלנו מתנהגות…"

אמיר:
"ואני יודע איך אולי אפשר לפתור את זה! פשוט נתחיל עם מקרים קטנים יותר… בואי נקטין את מספר הספרות? נניח נראה מה קורה עם 9, ועם 99, ואולי אז…."

מאיה:
"רעיון מעולה! להתחיל ממקרים קטנים זו שיטת פתרון מהטובות שאני מכירה.

אוקיי, אני מחשבת - 729=9³ ו-9700299=99³ … אבל מה אנחנו יכולים לשאול כאן?"

אמיר:
"כבר אמרנו, אפשר לשאול על סכום הספרות. אבל נשאל על זה של 30 פעמים 9, כל זה בחזקת 3. ובטח יש כאן איזו תבנית שצריך לגלות אותה...

אה, את יודעת שאפילו מצאתי דרך לבדוק את עצמי קצת? אני יודע שסכום הספרות חייב להתחלק ב-9..."

מאיה:
"אה, נכון, כי המספר המקורי שלנו מתחלק ב-9, אז גם אם נכפול אותו בעצמו זה יתחלק ב-9, ואם המספר מתחלק ב-9 אז גם סכום הספרות שלו מתחלק ב-9. אין, אין, אין, 9 זה מספר מופלא! איזה כיף לחשוב איתך!"

אמיר:
"תודה, את נותנת לי השראה! ועכשיו יאללה, אני חייב לבדוק אם יש כאן איזה דפוס ואם אני מצליח לגלות את סכום הספרות של המספר המשוגע הזה!"

________________

מוזמנות ומוזמנים לפתור את החידמטיקה בתמונה המצורפת.