חידה #3

השבוע שרל'ה החליטה לחקור תכונה מיוחדת ומעניינת של מספרים טבעיים*.

היא מתעניינת במספרים שמתחלקים** בסכום הספרות שלהם.

לדוגמה, המספר 234 הוא מספר כזה.
סכום הספרות שלו הוא 9 (9=2+3+4), והמספר גם מתחלק ב-9 (26=234:9).

שרל'ה שיתפה את ההורים שלה בהתלהבות:
"השבוע חקרתי מספרים שמתחלקים בסכום ספרותיהם. ואתם יודעים מה?
הצלחתי למצוא מספר תשע ספרתי כזה שמורכב מתשע הספרות 1-9 (כל ספרה פעם אחת בלבד)!
נסו לנחש מהו המספר שעליו חשבתי..."

אבא של שרל'ה חשב קצת, עד שהצליח למצוא מספר מתאים...
"אוי," אמרה שרל'ה, "המספר שמצאת באמת מתאים, אבל הוא לא המספר שלי.
כנראה שיש יותר ממספר מתאים אחד... אולי תנסה שוב?"

אחרי עוד קצת עבודה, אבא של שרל'ה מצא מספר נוסף...
"אבא, גם זה לא המספר שחשבתי עליו... נסה שוב!" אמרה שרל'ה.

אמא של שרל'ה רק הקשיבה לשיחה מהצד וחייכה לעצמה...
היא כבר הבינה שהתהליך הזה עשוי להימשך עוד זמן מה...

וכאן אתם נכנסים לתמונה!

* מספרים טבעיים – מספרים שלמים וחיוביים
** מתחלקים – הכוונה חלוקה שנותנת תוצאה שלמה, ללא שארית

כמה מספרים תשע ספרתיים שונים זה מזה,
ניתן להרכיב מהספרות 1-9 (כל ספרה פעם אחת בלבד),
כך שכל אחד מהמספרים יתחלק בסכום ספרותיו?

תשובה #3

התשובה היא: 40320

אור, תלמיד/ת קבוצת ו' מראש העין, מסביר/ה בבהירות ופשטות:

"סכום הספרות הוא 45.

כדי שמספר יתחלק ב-45 הוא צריך להתחלק גם ב-5 וגם ב-9:
כדי שיתחלק ב-5 המספר צריך להסתיים ב-5 (כי אין לנו את הספרה 0).
כדי שיתחלק ב-9 צריך שסכום הספרות יתחלק ב-9 אבל זה יקרה בכל מקרה כי 45 מתחלק ב-9.

אז צריך למצוא כמה מספרים שונים אפשר להרכיב מהספרות 1-9 כך שספרת היחידות תהיה 5.

התשובה היא 8 עצרת כי יש 8 ספרות (כולן חוץ מ-5). בוחרים את הספרה הראשונה - יש לה 8 אפשרויות, ואז בוחרים את הספרה השניה - שנשארו לה 7 אפשרויות, וכך הלאה...

40320 = !8"

יסמין, תלמידת קבוצת ז' מראשון לציון, מוסיפה עוד קצת עומק ודיוק מתמטי להסבר:

"כל מספר טבעי הוא מכפלה של גורמים ראשוניים (תוספת עריכה: המשפט היסודי של האריתמטיקה).
כדי שהמספר יתחלק ב-45, בגורמים הראשוניים שלו חייבים להופיע 3 בחזקת 2 לפחות ו-5 בחזקת 1 לפחות.

מכיוון שסכום כל המספרים הוא 45, לא משנה מה, המספרים תמיד יתחלקו ב-9 (כי סימן החלוקה שלו הוא שכל מספר שסכום ספרותיו מתחלק ב-9 מתחלק ב-9).

לכן, נשאר רק למצוא את המספרים שמתחלקים ב-5. המספרים היחידים שמתחלקים בחמש הם אלה שספרת האחדות שלהם היא 5.

כלומר, אם ספרת האחדות שלהם היא 5 הם מתחלקים ב-5 ומכיוון שסכום ספרותיהם שווה ל-45 ו-45 מתחלק ב-9 אז המספר לא משנה מהו כל עוד ספרת האחדות שלו היא 5 מתאים לנו.

לאחר מכן נשאר רק למקם את שאר הספרות כך שבכל פעם יש פחות ספרות שניתן למקם בכל משבצת.
במשבצת הראשונה ניתן למקם אחת מ-8 הספרות, בשנייה אחת מ-7 ספרות, בשלישית אחת מ-6 ספרות וכך הלאה...
כל פעם הכמות האפשרויות קטנה בגלל שכבר השתמשנו בספרה מסיומת אז אנחנו מורידים אותה מהאפשרויות כי כל ספרה יכולה לחזור רק פעם אחת כלומר 8!.

למספרים האלו יש שם...

למעשה, לקבוצת המספרים ששרל'ה חקרה יש שם. הם נקראים מספרי הרשאד (Harshad) והם נחקרו רבות במסגרת התחום המתמטי שנקרא 'תורת המספרים'.

אנחנו מזמינים אתכם להמשיך ולחקור את מספרי הרשאד. תוכלו לחקור בכוחות עצמכם, או גם למצוא מידע נוסף באינטרנט.

גילית או מצאת משהו מעניין בנושא?
שתף/י את המורה שלך בתוכנית! אנחנו נשמח לפרסם כאן ממצאים מעניינים שישלחו אלינו ע"י המורים!

לקראת פסח, תצא לדרך גם 'תחרות התוכן המתמטי' של התוכנית, תוכלו להמשיך לחקור את את מספרי הרשאד ומספרים מיוחדים נוספים ולפרסם את הממצאים שלכם גם במסגרת תחרות זו.

רוצים אתגר נוסף בנושא?

הנה כמה טענות לגבי מספרים אלו, אך רק חלקן נכונות... האם תוכלו לקבוע אילו מהטענות נכונות?

1. המספר 529573 הוא מספר הרשאד

2. כל המספרים בין 560 ל – 570 הם אינם מספרי הרשאד

3. כל המספרים החד ספרתיים (חוץ מאפס) הינם מספרי הרשאד

4. אם כל ספרותיו של מספר זהות זו לזו, אזי הוא בהכרח מספר הרשאד

5. קיימים 2 מספרים עוקבים ארבע-ספרתיים, אשר שניהם מספרי הרשאד

6. כל המספרים הדו ספרתיים אשר מתחלקים ב-9 ללא שארית, הינם מספרי הרשאד

7. אם מספר מורכב רק מאפסים ומספרה יחידה נוספת שאיננה אפס, אזי הוא בהכרח מספר הרשאד

8. קיימים 3 מספרים עוקבים תלת-ספרתיים, אשר שלושתם מספרי הרשאד

9. אם כל ספרותיו של מספר תלת ספרתי זהות זו לזו, אזי הוא בהכרח מספר הרשאד

10. קיים מספר הרשאד תשע-ספרתי שכל ספרותיו שונות מאפס ושונות זו מזו.

תוכלו להיעזר בחברים / הורים / המורה בתוכנית - כדי לדעת האם קביעתכם נכונה.

Page updated

Google Sites

Report abuse