4.7 Representación de Funciones mediante la serie de Taylor

Representación de funciones mediante la serie de Taylor

La serie de Taylor de una función f de números reales o complejos que es infinitamente diferenciable en un entorno de números reales o complejos a, es la serie de potencias:

que puede ser escrito de una manera más compacta como 

Donde n! es el factorial de n y f (n)(a) denota la n-ésima derivada de f en el punto a; la derivada cero de f es definida como la propia f y (x − a)0 y 0! son ambos definidos como uno. 

Si esta serie converge para todo x perteneciente al intervalo (a-r, a+r)  y la suma es igual a f(x), entonces la función f(x) se llama analítica. Para conprovar si la serie converge a f(x), suele usar una estimación del resto del Teorema de Taylor. Una función es analítica si y solo si se puede representar con una serie de potencias; los coeficientes de esa serie son necesariamente los determinados en la formula de la serie de Taylor.