4.4 Serie de potencias

Una serie de potencias consiste en una sumatoria de términos en forma de potencias de la variable x, o más generalmente, de x-c, donde c es número real constante. En la notación de sumatoria una serie de potencias se expresa de la siguiente forma:

∑an (x -c)n = ao + a1 (x – c) + a2 (x – c)2 + a3 (x – c)3 + …+ an (x – c)n

Donde los coeficientes ao, a1, a2 … son números reales y la serie comienza en n = 0.

Esta serie está centrada en el valor c que es constante, pero se puede elegir que c sea igual a 0, en cuyo caso la serie de potencias se simplifica a:

∑an xn = ao + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + …+ an xn

Las series comienzan con ao(x-c)0 y aox0 respectivamente. Pero sabemos que:

(x-c)0=x0 = 1

Por lo tanto ao(x-c)0 = aox0 = ao (término independiente)

Lo bueno de las series de potencias es que con ellas se pueden expresar funciones y esto tiene muchas ventajas, sobre todo si se quiere trabajar con una función complicada.

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Cuando este es el caso, en vez de usar directamente la función, se utiliza su desarrollo en serie de potencias, que puede ser más fácil de derivar, integrar, o trabajar numéricamente.

Desde luego todo queda condicionado a la convergencia de la serie. Una serie converge cuando al sumar cierta cantidad grande de términos se obtiene un valor fijo. Y si sumamos más términos todavía, seguimos obteniendo ese valor.

Funciones como series de potencias

Como ejemplo de función expresada como una serie de potencia tomemos f(x) = ex.

Esta función se puede expresar en términos de una serie de potencias como sigue:

ex  ≈ 1 + x + (x2 / 2!)  + (x3 / 3!) + (x4 / 4!) + (x5 / 5!) + …

Donde n! = n. (n-1). (n-2). (n-3)… y se toma 0! = 1.

Vamos a comprobar con la ayuda de una calculadora, que efectivamente la serie coincide con la función dada en forma explícita. Por ejemplo comencemos haciendo x = 0.

Sabemos que e0 = 1. Veamos lo que hace la serie:

e0 ≈ 1 + 0 + (02 / 2!)  + (03 / 3!) + (04 / 4!) + (05 / 5!) + … = 1

Y ahora probemos con x = 1. Una calculadora arroja que e1 = 2.71828, y seguidamente comparemos con la serie:

e1 ≈ 1 + 1 + (12 / 2!)  + (13 / 3!) + (14 / 4!) + (15 / 5!) + … = 2 + 0.5000 + 0.1667 + 0.0417 + 0.0083 + … ≈ 2.7167

Con tan solo 5 términos ya tenemos coincidencia exacta en e ≈ 2.71. A nuestra serie le falta apenas un poco más, pero conforme se vayan sumando más términos, con toda certeza la serie converge al valor exacto de e. La representación es exacta cuando n → ∞.

Si se repite el análisis anterior para n = 2 se obtienen resultados muy parecidos.

De este modo estamos seguros de que la función exponencial f(x) = ex se puede representar mediante esta serie de potencias:

Series geométricas de potencias

La función f(x) = ex no es la única función que admite una representación en serie de potencias. Por ejemplo, la función  f(x) =1 / 1 – x  se parece mucho a la conocida serie geométrica convergente:

∑a.rn = a / 1 – r

Basta con hacer a =1 y r = x para obtener una serie adecuada a esta función, que está centrada en c = 0:

Sin embargo, se sabe que esta serie es convergente para │r│<1, por lo tanto la representación es válida únicamente en el intervalo (-1,1), aunque la función sea válida para todo x, excepto x=1.

Cuando se quiere definir esta función en otro intervalo, simplemente se centra en un valor adecuado y listo.

Una función cualquiera se puede desarrollar en una serie de potencias centrada en  c, siempre y cuando tenga derivadas de todos los órdenes en x = c. El procedimiento hace uso del siguiente teorema, llamado teorema de Taylor:

Sea f(x) una función con derivadas de orden n, denotadas como f(n), la cual admite un desarrollo en serie de potencias en el intervalo I. Su desarrollo en serie de Taylor es:

f(x) = f(c) + f´(c) (x-c) + f´´(c) (x-c)2 /2 + f´´´(c) (x-c)3 /6 +…Rn

Donde Rn, que es el término enésimo de la serie, recibe el nombre de residuo:

Cuando c = 0 la serie recibe el nombre de serie de Maclaurin.

Esta serie dada aquí es idéntica a la serie dada al comienzo, solo que ahora  se tiene una forma de hallar explícitamente los coeficientes de cada término, dados por:

No obstante, hay que asegurar que la serie converja a la función que se quiere representar. Sucede que no toda serie de Taylor necesariamente converge a la f(x) que se tenía en mente al calcular los coeficientes an.

Esto pasa porque tal vez las derivadas de la función, evaluadas en x =c coinciden con el mismo valor de las derivadas de otra, también en x = c. En tal caso los coeficientes serían los mismos, pero el desarrollo sería ambiguo al no tener la certeza de a cuál función corresponde.

Por fortuna hay un modo de saber:

Criterio de convergencia

Para evitar la ambigüedad, si Rn → 0 cuando n → ∞ para todo x en el intervalo I, la serie converge a f(x).