4.5 Radio de Convergencia
El radio de convergencia de una serie de potencias es el radio del círculo de convergencia al cual la serie converge. Dicho círculo se extiende desde el valor que anula la base de las potencias hasta la singularidad más cercana de la función asociada a la serie.
Toda función analítica f(z) tiene asociada una serie de potencias en torno un punto no singular, denominada serie de Taylor:
El radio de convergencia de una serie de potencias es el radio del círculo de convergencia al cual la serie converge. Dicho círculo se extiende desde el valor que anula la base de las potencias hasta la singularidad más cercana de la función asociada a la serie.
Toda función analítica f(z) tiene asociada una serie de potencias en torno un punto no singular.
El radio de convergencia de una serie de potencias es el radio del círculo de convergencia al cual la serie converge. Dicho círculo se extiende desde el valor que anula la base de las potencias hasta la singularidad más cercana de la función asociada a la serie.
Toda función analítica f(z) tiene asociada una serie de potencias en torno un punto no singular, denominada serie de Taylor:
Para que una serie sea convergente es necesario que el valor absoluto de los términos sucesivos vaya en disminución cuando el número de términos sea muy grande. En forma matemática se expresaría de la siguiente manera:
Usando las propiedades de los límites en la expresión anterior se obtiene:
Aquí r es el radio de convergencia y |z – a| < r es el círculo de frontera abierta en el plano complejo donde la serie converge. En caso de que el valor a y la variable z sean números reales, entonces el intervalo abierto de convergencia sobre el eje real será: (a – r, a+r).
Serie de Taylor
La serie de Taylor de una función f(x) en torno a un valor a en el que la función tiene infinitas derivadas, es una serie de potencias que se define como:
En el entorno | x – a | < r, con r como el radio de convergencia de la serie, se tiene que la serie de Taylor y la función f(x) coinciden.
Por otra parte, el radio de convergencia r es la distancia que hay del punto a y la singularidad xs más cercana al punto a, siendo los puntos singulares aquellos valores donde el límite de la función tiende a infinito.
