Les quatre premiers nombres pentagonaux

Satisfait de la forme donnée à son premier verger, notre jardinier désire créer un verger de citronniers quatre saisons sur une surface d’environ 5 000 m2. La plantation doit être effectuée avec une densité d’environ 800 arbres/ha ; l’écartement conseillé entre lignes est de 4 m et la distance entre deux arbres dans la ligne est également de 4 mètres pour éviter que les arbres sont imbriqués les uns dans les autres.

Le mathématicien Fermat énonça le théorème suivant :

“ Tout nombre entier naturel non nul est la somme d'au plus n nombres polygonaux formés sur la base d'un polygone régulier à n côtés. ”

Fermat n'a pas démontré ce théorème. On en doit la preuve à trois grands mathématiciens : Lagrange (vers 1770) pour les nombres triangulaires, Gauss (vers 1796) pour les nombres carrés, Cauchy (vers 1813) pour le cas général.

Question ?

  1. Estimer la quantité en tonnes de citrons que notre ami jardinier peut proposer à sa clientèle ?
  2. Dessiner les différentes configurations du verger en plaçant les citronniers en constructions pentagonaux.