Математические модели

Математическая модель — приближенное описание объекта моделирования, выраженное с помощью математической символики.

Математические модели появились вместе с математикой много веков назад. Огромный толчок развитию математического моделирования придало появление ЭВМ. Применение вычислительных машин позволило проанализировать и применить на практике многие математические модели, которые раньше не поддавались аналитическому исследованию. Реализованная на компьютере математическая модель называется компьютерной математической моделью, а проведение целенаправленных расчетов с помощью компьютерной модели называется вычислительным экспериментом.

Этапы математического моделирования 

Построение математической модели начинается с описания исходных данных и результатов. Затем на основании изучения реальной системы устанавливают виды взаимосвязи между исходными данными и результатами. Формальная запись этих зависимостей дает математическую модель. Рассмотрим этапы компьютерного математического моделирования, включающего численный эксперимент с моделью. 

Определение целей моделирования – первый этап математического моделирования. 

Основные цели моделирования:  

Вторым этапом моделирования является ранжирование параметров – разделение входных параметров по степени важности их влияния на результаты моделирования. 

Третий этап – выбор математического описания. На этом этапе необходимо перейти от абстрактной формулировки модели к математическому описанию в виде уравнения, системы уравнений, системы неравенств и т. д. 

Выбор метода исследования – следующий необходимый этап. Если выбранный метод использует компьютер, то необходимо подобрать программное средство из числа имеющихся или разработать соответствующую программу на одном из доступных языков программирования. 

Проведение исследования – выполнение эксперимента с моделью (изменение входных данных с последующей фиксацией значений на выходе модели, изменение параметров в описании модели и т. д.). 

На этапе анализа результатов выясняется, соответствует ли модель реальному объекту или процессу. Модель адекватна реальному процессу, если изучаемые характеристики процесса, полученные в ходе моделирования, совпадают с заданной степенью точности с экспериментальными. В случае несоответствия модели реальному процессу возвращаются к одному из предыдущих этапов. 

Типы математических моделей 

С точки зрения целей моделирования можно выделить следующие типы математических моделей: описательные, оптимизационные, игровые, имитационные. 

Описательные математические модели используются для описания объекта моделирования с помощью математических формул. Такое описание позволяет применить для исследования модели математические методы. Например, в решении экономических задач широко используются матричные математические модели, для исследования которых применяются методы линейной алгебры. 

Оптимизационные модели. Возможны случаи, когда, моделируя те или иные процессы, можно воздействовать на них, пытаясь добиться какой-либо цели. В этом случае в модель входит один или несколько параметров, значения которых можно варьировать. 

Игровые модели предназначены для обоснования решений в условиях неопределенности (неполноты информации) и связанного с этим риска. Рассматриваются ситуации, в которых сталкиваются противоборствующие стороны, каждая из которых преследует свою цель. Достижение цели каждой из сторон (выигрыш) зависит от того, какие действия предпримет противник. Такие ситуации называются конфликтными. Игровые модели находят применение при обосновании управленческих решений в условиях политических, социальных, производственных, трудовых и других конфликтов. 

Теория игр – это раздел математики, изучающий методы разрешения конфликтных ситуаций, характеризующихся неопределенностью возможных действий конфликтующих сторон. Под игрой понимается взаимодействие нескольких игроков, каждый из которых стремится добиться выигрыша. Стратегия – это реализуемый игроком метод выбора ходов в течение игры. Если рассматривать игру двух участников, то совокупность выигрышей можно представить в виде матрицы выигрышей. Матрица строится с позиции одного из игроков. Каждый элемент матрицы соответствует величине выигрыша этого игрока в зависимости от выбранной стратегии. Обычно строки матрицы соответствуют стратегиям первого игрока, а столбцы – стратегиям второго. Первый игрок выбирает строку, второй игрок – столбец, при этом на пересечении находится выигрыш (или проигрыш, если значение отрицательное) первого игрока. Рассмотрим построение матрицы выигрышей на простейшем примере анализа военных действий 

Имитационные модели. Имитационное моделирование – это метод исследования, при котором изучаемый объект заменяется компьютерной математической моделью, с достаточной точностью описывающей реальный объект. С полученной моделью проводятся эксперименты с целью получения информации об объекте. Часто имитационные модели строятся как статистические модели на основе метода Монте-Карло.
Например, при оценке риска инвестиционных проектов используют прогнозные данные об объемах продаж, затратах, ценах и т. д. Чтобы адекватно оценить риск, необходимо иметь достаточное количество информации для формулировки правдоподобных гипотез о вероятностных распределениях ключевых параметров процесса. В этом случае отсутствующие фактические данные заменяются величинами, полученными в процессе имитационного эксперимента, т. е. сгенерированными компьютером. 

Задание 1

С использованием компьютерной модели в электронных таблицах найти приближенное (графическое) решение уравнения  x^3/10 = sin x.

Выполнение задания:

Ввести формулы функций и заполнить таблицу значений функций на интервале от -2,5 до 2,5  с шагом 0,5.

Построить диаграмму. Для этого выделить таблицу значений функции и воспользоваться кнопкой Мастер диаграмм. Выбрать график. Установить линии сетки для оси х – промежуточные, для оси y – снять. Внести Заголовок диаграммы "Таблица значений функции".

Определить по графику  приближенно корни уравнения.

Таблица значений функции

Задание 2

С использованием компьютерной модели в электронных таблицах найти приближенное значение корней уравнения x3/10 = sin x с заданной точностью  с использованием метода Подбор параметра. 

Выполнение задания:

1. При использовании метода Подбора параметров для решения уравнений вида f(x) = g(x)  вводят вспомогательную функцию y(x) = f(x) - g(x) и находят с требуемой точностью значения  x точек пересечения графика функции y(x) с осью абсцисс.

2. Ввести формулы функций и заполнить таблицу значений функций на интервале от -2,5 до 2,5  с шагом 0,5.

3. Установить точность представления чисел в ячейках с точностью до 4 знаков после запятой.

4. Построить диаграмму. Для этого выделить таблицу значений функции и воспользоваться кнопкой Мастер диаграмм. Выбрать график. Установить линии сетки для оси х – промежуточные, для оси y – снять. Внести Заголовок диаграммы Таблица значений функции.

5. Определить по графику приближенно  корни уравнения.

6. Выделить ячейку, содержащую значение функции наиболее близкое к нулю, например, $K$3. Ввести команду Сервис -  Подбор параметра.

7. На панели Подбор параметра в поле Конечное значение ввести требуемое значение функции (в данном случае 0). В поле изменяемая ячейка ввести адрес ячейки $K$2, в которой будет производиться подбор значения аргумента.

8. На панели Результат подбора параметра будет выведена информация о величине подбираемого и подобранного значения.

9. В ячейке аргумента К2 появиться подобранное значение 2,0648. Повторить подбор параметра для ячейки значения функции С3. В ячейке аргумента С2 появиться подобранное значение    – 2,0648. 

10. Таким образом, корни уравнения с точностью до четырёх знаков после запятой найдены: х1 = -2,0648,  х2 = 0,0000,  х3 = 2,0648.