Wiskunde II

2022-2023

12 juni 2023

1. Geef de paramtervergelijking van een vlak (of rechte, geen idee meer) loodrecht op de rechte L: y = 0 en ax-z = 0 en door het punt (1,1,1) (1,5p)
   Geef de cartesiaanse vergelijking van een vlak V loodrecht op L en door (1,1,1). (2,5p)
   Voor welke a is (3,0,2) element van het vlak V? (1p)

2. Bepaal de 2x2 matrix A waarbij de eigenwaarden 0 en 1 zijn. Bereken dan A^100 (3p)

3. Bepaal de evenwichtspunten: x'(t) = xy - x^3                       (2p)
     y'(t) = y(x² - 4x + 3)
   Lineariseer rond elk punt en onderzoek de stabiliteit van het evenwicht. (8p)

4. f: oneven en 2pi-periodisch (0,pi) met f(x): -x/2 bij 0 =< x < pi
         0       bij x = pi
   Schets op (-5pi, 5pi) (2p)
   Bepaal f(-799pi/2)   (1,5p)
   Bepaal de fourierreeks (4,5p)
   Bepaal de som: f(x)=∑ ((-1)^n+1 / n ) * sin (npi/5) (2p)

2021-2022

13 juni 2022

5. ? aanvullen, shit met vectoren en vlakken

a) voor welke a spannen deze vectoren een parallellepipidum op?

b) voor welke a is het volume daarvan 7?

c) iets met vlakken

6. a) Gegeven: M is een symmetrische matrix en is dus orthogonaal diagonaliseerbaar. Geef X en D zodat X*D*X(getransponeerd) = M

b) Populatiemodel: geef x en y in functie van de tijd en geef de evenwichtspopulatie. Vergelijkingen niet gegeven maar wel: A * x = x en A * y = 1/2 * y en de beginpopulatie

7. Fourrierreeks voor |x| -  π (- π ,  π ): schets, geef de reeks, waar is de reeks convergent & wat is de waarde van de reeks in -61 π /2?

2019-2020

4 juni 2020

1. a) vlak met drie vectoren (punten) voor welke waarde van p? (in één van de vectoren)

b) loodrecht op dat vlak en door punt???

d) Voor welke waarde(n) van de parameter a ∈ R  spannen de volgende drie vectoren een parallellepipedum op in   R^3? (3, a, 0)^T , (-4,0,1)^T , (a+2, a+1, a)^T

Argumenteer nauwkeurig

e) Voor welke waarde(n) van de parameter a is het volume van de parallellepipedum gelijk aan 1?

2. a) populatiemodel

b) wanneer uitsterven wanneer exp groei

c) evenwichtspopulatie met gegeven beginwaarden

3. a) schets f(x) (zie wat f(x) is hieronder)

b) Bereken de Fourierreeks van f met f(x) = -1 als -π ≤ x ≤ -π/2 en 1 als -π/2 < x <π/2 -1 als π/2 ≤ x ≤ π (was anders geformuleerd)

2012-2013

10 juni 2013

1. Gegeven vectoren a, b en c, met A = (a b c).
a) Los op: x = Ax.
Voor welke p is er geen oplossing?
Voor welke p is er één unieke oplossing?
Voor welke p zijn er oneindig veel oplossingen?
c) Geef een eenheidsvector die loodrecht staat op a x b.

2. a) Los het lineaire stelsel op.
b) Bepaal de evenwichten van het niet-lineaire stelsel en bepaal de stabiliteit van elk evenwicht.

3. a) Geef de Maclaurinreeks van f(x) = xsin(2x).
b) Bereken de Fourierreeks van f(x) = xsin(2x) voor [-pi, pi] (specifieke regels van Simpson gegeven).